【摘 要】
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本文主要参考自J. Moser（[1]）的文章,其主要目的是在一些经典的可积哈密尔顿系统与曲面的基础几何之间建立一种联系.找到相关积分的经典途径是以通过变量分离的手段解Hamilton-Jacobi方程为基础的,这需要选取合适的变量和扎实的计算能力.在最近对偏微分方程的研究中,发现积分是某些线性算子的特征值,这些线性算子依赖于偏微分方程的解,但是它们的谱对偏微分方程的每个解都是保持不变的,于是在这
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本文主要参考自J. Moser（[1]）的文章,其主要目的是在一些经典的可积哈密尔顿系统与曲面的基础几何之间建立一种联系.找到相关积分的经典途径是以通过变量分离的手段解Hamilton-Jacobi方程为基础的,这需要选取合适的变量和扎实的计算能力.在最近对偏微分方程的研究中,发现积分是某些线性算子的特征值,这些线性算子依赖于偏微分方程的解,但是它们的谱对偏微分方程的每个解都是保持不变的,于是在这个方程的时间发展下,线性算子在保持自己的谱不变的的方式下改变,例如:它在一个保谱形变下改变时,这些被视为泛函的特征值就代表了积分.自然地提出了问题,是否所有的可积哈密尔顿系统都可以描述为保谱形变呢?我们并没有试图从一般意义上回答这个问题,而是考虑一些经典的例子,比如:椭球面上Jacobi测地流,对它们构造保谱形变.对这个古老的问题并没有得到新的结果,但是得到了关于这些算子的特征值和特征向量的一个有趣味的几何描述.本文在概述中讲的是Moser关于可积哈密尔顿系统与偏微分方程及诸多方面之间联系的介绍.第一节给出了一些基本概念,如二次曲面,椭球面上的测地线,测地流,辛流形,线性算子的谱等.第二节研究了线性算子的谱、谱的对称函数的对合性,并通过向量场x|. = Hy ,y|. = -Hx给出了矩阵L的一个保谱形变.第三节主要研究了共焦二次曲面的一些性质,类似于第二节,给出了L的一个保谱形变,对L的特征值和特征向量,在本节有个很有趣的几何解释.最后在第四章,文章给出了几个可积流的例子.
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