在应用数学领域,函数分片逼近问题作为研究函数逼近理论的重要组成部分,正在被越来越多的学者和相关的研究人员所重视,而图像逼近问题作为函数逼近问题的一个特例,因其在应用数学和计算机图形学领域的广泛应用,更是成为了研究的热点。图像逼近问题的理论描述,类似于函数逼近问题,是指对于任意一个给定的目标图像,构造出一个新的图像,使得新图像与目标图像之间的差别尽可能地小,这种差别可以用峰值信噪比(PSNR)来度量。通过函数分片的方法来解决函数逼近问题是研究这一类函数逼近问题的重要方法,因此我们考虑用图像分片逼近的方法来解决这一类图像逼近问题。本文综合运用Power图的相关理论以及函数分片逼近的相关方法,给出了一种新的图像多项式分片逼近的方法,我们称之为带容积约束Power图的结构上的图像多项式分片逼近方法。本文充分地挖掘了 Power图的优化自由度,将Power图的权重与目标图像的像素信息关联到一起,设计出了一个带容积约束Power图的结构上的顶点位置与权重交替优化的图像多项式分片逼近算法。本文算法利用误差反馈机制以及图像处理领域的显著性检测等算法来生成最优的密度函数图像,并且以原始图像和最优密度函数图像为输入分两次来指导Power图初始化顶点的分布,通过构建最优的Power图来逼近目标图像,从而来有效地解决图像的逼近问题,彩色图像和灰度图像均可以实现,本文以RGB格式的彩色图像为例。本文采用区域分割的方法,用Power图来对目标图像进行区域分割,即图像分片,定义了能够度量逼近误差的带容积约束的目标函数,同时计算出目标函数关于Power图顶点位置和权重的梯度,将原始的图像逼近问题转换成两个子优化问题来加以解决。在我们的整个算法框架中,设计了一个可以满足不同逼近需求的最优密度函数图像生成算法,以此算法生成的初始化点分布作为输入,通过不断地更新Power图的顶点位置以及优化Power图的权重来得到最优的Power图,最终再拟合出逼近图像。大量的实验结果表明,通过用最优密度函数图像生成算法对生成的初始化点分布进行控制,本文的算法能够有效地逼近图像的一些细节和轮廓线或者有效地逼近一些我们更加关心的区域,以此来更加灵活地解决图像逼近问题。特别地,如果本文算法使用更多的初始化顶点,逼近效果更是显著地得到提高。本文的算法在性能上也有明显的提升,与相关文献中算法在相同配置的台式PC机上对比显示,只用了相关文献算法大约三分之一的时间,相比而言,更加效地解决了本文提出的图像逼近问题。