Hecke算子是一类模形式空间构造以及一般自守表示被广泛应用的“均值”算子，在模形式理论中有很重要的地位.1917年，Mordell最先在研究Ramanujan给出的一个特殊尖形式时，使用了这类算子.1937年，Hecke给出了它的一般性定义.　　对于整数k，正整数n以及权为k的模形式f(z），Hecke算子Tn定义为(Tnf)(z):=nk-1∑d|nd-k d-1∑b=0f(nz+bd/d2).Hecke算子有很多很好的性质，比如，它的乘法是结合的且可交换的（因此Hecke算子生成一个交换代数，称Hecke算子代数），此外，它还是可乘的以及在Petersson内积下为自共轭的等等.　　Hecke特征形f(z)(在SL2(Z)的情形下经常也被简单的称为特征形）是一个模形式，且是所有Hecke算子的特征向量.也就是说，对于所有正整数n，存在复常数λ(n)，使得(Tnf)(z)=λ(n)f(z）.Eisenstein级数就是特征形的一个简单例子，它也是仅有的非尖形式的特征形.△函数是另一个典型的权为12的特征形.Hecke特征形f(z)的Fourier展式为f(z）=∞∑n=0 anqn.若a0=0，则为Hecke尖形式;若a1=1，则称其为正规化的.不失一般性，本文中探讨的都是正规化的Hecke特征形.　　Hecke特征形是数论研究中的一个很重要的问题，在数学分析，组合数学和物理学中也有广泛的应用.它是数学家研究的热点问题，近年来，Ahmad，Wissam，Holowinsky, Luo，Ono，Soundararajan，Sarnak等很多优秀的数学家都在这方面有很多杰出的成果（见[6，13，20，21]等）.本文中，我们将研究尖形式（也就是说，相应Fourier展式中a0=0）下Hecke特征形的的两个问题，分别是它的非平凡素数问题和周期多项式零点分布问题.　　首先我们介绍关于Hecke特征形的非平凡素数问题.　　取偶数k≥4，令Mk(或Sk)为SL2(Z)上权为k的正则模形式（或尖形式）组成的有限维C-向量空间;此外，令M!k为SL2(Z)上权为k的弱正则模形式组成的无限维空间（见[18]）.对于一个亚纯模形式，若它的极点（如果存在的话）都在尖点处，则它为弱正则的.我们记SL2(Z)上的模形式在无穷远点处的Fourier展式为f(z)=∑n(》)-∞ af(n)qn.　　令OL为数域L下的代数整数环，对于正规化的Hecke特征形f(z)=∞∑n=1 af(n)qn∈Sk∩OL[[q]],如果存在对应于素数p的素理想p(C)OL使得af(p)≡0(mod p)，那么我们称f(z)是p非平凡的.　　对于f(z）上的非平凡素数分布，一个很著名的问题如下（见Gouv(e)a的说明性文章[7]）.　　问题对于一个一般性的正规化Hecke特征形f(z)，它有无限多的非平凡素数吗？　　尽管对于SL2(Z)的某些同余子群上的模形式（比如CM尖形式，权为2的关于Q上的椭圆曲线的newform等等）有更强的结果，但这一问题目前并没有太多的结果.2005年，Choie，Kohnen和Ono[2]得到了关于p=2，3，以及δ（k)≠0时p≥5的一个结果.　　我们并没有解决这一问题，它依然是开放的.但是，我们在Choie，Kohnen和Ono的基础上得到了下面这个相关结果.　　定理1对于任意的有限多个素数组成的集合S，都有无限多个SL2(Z)上的Hecke特征形使得所有的p∈S对于它们都是非平凡的.　　然后我们探讨关于Hecke特征形的周期多项式零点分布问题.　　对于模形式f(z）=∑∞n=0 anqn∈Mk来说，一个很自然（而且有用）的问题就是研究它的Eichler积分εf(z):=∫i∞z(f（τ）-a0）（τ-z）k-2dτ=-(k-2)!/(2πi)k-1∞∑n=1 an/nk-1qn的有关性质.尽管εf(z)并不是一个模形式，但是它可以跟模形式的周期函数联系起来，这是关于f(z)的另一个很重要的课题.该周期函数定义为rf(z):=εf(z)-zk-2εf(-1/z).它的偶部r+f(z)和奇部r-f(z)分别为f±f(z):=rf(z)±rf(-z)/2.特别的，令Γ为PSL2(R)的离散子群，且i∞为它的一个抛物尖点.对于尖形式f(z)∈Sk(Γ)，k∈2Z≥0，相应的周期函数即rf(z)=∫i∞0f（τ）（τ-z）k-2dτ.不难看出，此时rf(z)为k-2次多项式，它的系数包含f(z)的相关L-函数的特殊值L(f，1），L(f，2）,...，L(f,k-1)，为它们的一个生成函数（见[17]）.也就是说，这样的周期多项式提供了Eichler积分和L-函数的特殊值的联系.相应L-函数的特殊值在算术几何和数论中也是一个很重要的研究对象.对于周期多项式的一般性质，见[3，16，17，25，32];其余跟本文相关的文章有[8，23].　　与Hecke特征形相关的周期多项式的零点分布问题是一个重要的课题.由函数方程，它们被猜测位于相应圆周上，由于与Riemann猜想的相似性，这也被称为周期多项式上的Riemann猜想.　　2013年，Conrey, Farmer和Imamo(g)lu在[4]中证明了对于Hecke特征形f∈Sk(SL2(Z))来说，它的周期多项式的奇部在0，±2，±1/2有简单零点，在±1有双重零点，其余零点都落在单位圆周上.2014年，El-Guindy和Raji[6]更进一步的证明了所有Sk(SL2(Z))中的Hecke特征形对应的周期多项式的零点全部位于单位圆周|z|=1上.　　在本文中，我们探讨算术Hecke群Hq上Hecke特征形以及Γ0(N)上相应的newform的周期多项式的零点分布问题.除了延拓了El-Guindy和Raji的结果之外，我们还证明了随着k→∞，相应的零点趋向于均匀分布.　　关于算术Hecke群，我们的结果如下:　　定理2令Γ为某个Hecke群H3，H4，H6或H∞.若Hecke特征形f(z)=∑n≥1 anqn∈Sk(Γ)的权k充分大，那么相应的周期函数rf(z)的零点都在单位圆上.此外，随着k→∞，零点趋向于平均分布.　　值得一提的是，从证明过程中可以得知，满足Ramanujan-Petersson猜想的情形下，定理2的前半部分结论对一系列包含(01-10)的PSL2(R)的离散子群Γ上的Hecke特征形都成立.　　对于Γ0(N)，我们对Hecke特征形的子集newform也得到了相应的结果.Newform构成空间Snew k（Γ0（N)），它是正规化的尖形式，而且是所有Hecke算子以及Atkin-Lehner对合|kW(Qp)(这里p|N)和Fricke对合|kW(N)的特征形.　　定理3令f(z）∈Sk（Γ0（N)）为newform.若k≥4，那么相应的周期函数rf（X)的零点都在圆|z|=1/√N上.　　将rf(z)限制到圆周上，我们将其转化为了关于三角多项式的问题，通过研究相应的符号变换数量，我们可以得到定理3.此外，我们发现当权k或级N充分大时，rf(z)的零点在圆周|z|=1/√N上的分布是有规律的，更进一步的确定相应三角多项式根的位置，我们就得到了下面的定理.　　定理4对newform f(z)∈Sk(Γ0(N))，以下命题为真.　　(i)令k=4.当∈(f)=-1时，rf(z)的零点为+i/√N.当∈(f)=1时，对于充分大的N，rf(z)的零点位于±(1+O(N-1/4+∈))/√N.　　(ii)令偶数k≥6，若N或k充分大，则rf(z)的零点可被写为1/i√Nexp(iθ(l)+O(1/2k√N)），其中，对于0≤(l)≤2m-1我们定义θ(l)为方程mθ(k)-2π/√N sinθ(k)={π/2+(l)π若∈(f)=1(l)π若∈(f)=1在区间[0，2π）内的唯一解.