准晶是一种区别于传统晶体和非晶体的固体结构。异于普通晶体的结构使准晶具有许多独特的性能,如高强度、耐磨性及耐高温等特性。因此,准晶受到越来越多的国内外学者的关注。关于准晶体的力学行为的理论研究是准晶研究的重要方向,它能分析和解释材料的力学行为并为准晶体的实验提供指导。准晶的基本解是准晶理论研究的重要内容。准晶的基本解研究既可以用来构造许多边界值问题的解析解,又可以应用到边界元法等各种计算方法中。同时,它也是断裂、夹杂和接触等问题的理论分析基础。所以,准晶基本解的研究具有重要的意义。针对准晶的基本解的研究现状,本文开展了如下的三方面的研究工作：(一)本文得到了一维六方准晶的热电弹性场的无限体/半无限体问题的基本解。利用严格的算子理论和广义Almansi定理,推导了由五个准调和函数表示的三维静力学通解。通过设定合适的势函数,推导了外部热荷载作用的无限体和半无限体的基本解。(二)在准调和函数表示的通解的基础上,通过试凑法,得到了二维六方准晶的半无限体的基本解。研究了广义的Boussinesq和Cerruti问题。假设势函数,得到相应问题的格林函数。这个基本解可以用来构建控制二维六方准晶的接触和裂纹问题的边界积分方程。相应问题的解析解能为将来运用扫描探针显微术(SPM)和原子力显微技术(AFM)的压痕实验的提供理论支撑。(三)求解了二维六方准晶无限体和半无限体受点热源作用的格林函数。通过设定合适的势函数,推导了用初等函数表达的基本解。这些基本解为构建裂纹、接触和夹杂问题提供了基础。它们还可以为各种数值方法和简化分析提供校核依据。