设G=G(V,E)是一个图,T是一个包含0的非负整数集。图G(V,E)的一个T-染色就是一个从顶点集V(G)到非负整数集的映射f,其中f使得对任意相邻的顶点u,v,都有|f(u)-f(v)|(?)T。设r是一个正整数。当T = {0,1,2,3...r}时,则图G的一个T-染色又称为图G的(r + 1)-距离染色。图G的一个(r+1)-距离染色f的跨度定义为,max u,v∈V(G)|f(u)-f(v)|,记为spon(f)。图G的(r+1)-距离染色的跨度定义为min f span(f),记为spr+1(G),其中f取遍图G的所有(r +1)-距离染色。设t是一个非负整数。设f是一个从顶点集V(G)到非负整数集的映射。对任意的u ∈V(G),设RNf(u)表示集合{v |uv∈ E(G),1 ≤|f(u)-f(v)|≤r}。若f满足:(1)对任意的相邻顶点v,w,都有|f(v)-f(w)| ≥ 1;(2)对任意的u ∈ V(G),都有|RNf(u)|≤t,则称f为图G的一个t-松弛(r + 1)-距离染色。图G的t-松弛(r + 1)-距离染色的跨度定义为min f span(f),记为spr+1(t)(G),其中f取遍图G的所有t-松弛(r + 1)-距离染色。本文主要考虑当r=1时的情形。本文研究了图的t-松弛2-距离染色的基本性质并且确定了一些特殊图类的t-松弛-距离染色跨度。在第二章,我们确定了任意图G的t-松弛2-距离染色跨度sp2(t)(G)的上下界并给出了达到上界和下界的图例。在第二章,我们还得到了路,圈和完全图的t-松弛2-距离染色跨度。设G表示任意一个完全多部图,我们分别在第三章和第四章确定了图G的1-松弛2-距离染色跨度和2-松弛2-距离染色跨度。