本文主要研究非线性问题的数值求解方法.非线性问题包括常微分方程，偏微分方程，积分方程，积分微分方程，涉及到全部的自然科学领域，也是目前各学科普遍面临的重要研究对象.因此，本文所研究的内容(即算子方程的求解，这里算子方程是对各式各样方程的统称)具有重要的理论意义和应用价值. 本文给出了线性不适定算子方程全部解的解析表示，非线性算子方程AuBu+Cu=.f及A(v2)+Cv=f精确解的形式表示，人口方程精确解的形式表示，一类非线性常微分方程精确解的形式表示以及求解它们的有效的数值求解算法. 第1章中，介绍了线性算子方程及其数值求解的历史，非线性算子方程及其数值求解的历史，再生核理论的历史以及人口方程的发展历史. 第2章中，在可分的Hilbert空间H，H1上，将不适定线性算子方程Au=f(A：H→H1)的所有解表为u0+N(A)的形式，其中u0为Au=f的最小范数解，N(A)为算子A的零空间.首先，利用共轭算子的技巧，给出了最小范数解u0的形式表示，同时，获得了N(A)的一组标准正交基，从而给出了不适定线性算子方程全部解的形式表示(如果不计具有共轭算子形式项，则这些解为解析表示).这些解用级数表示，截断即得近似解，其误差在范数意义下单调下降，从而解决了不适定问题求解困难的问题.其次，将上述结论应用到H，H1均为再生核空间的情形，获得了相应的结论.另外，利用再生核的技巧，得到具有共轭算子形式项的解析表示，从而获得了u0的解析表示.由此，我们得到了Au=f全部解的解析表示. 第3章中，在再生核空间中讨论了AuBu+Cu=f型非线性算子方程解的表示.利用再生核的技巧，将问题转化为求解线性算子方程Ku=f的可乘解.先给出Ku=f的所有解，再从中挑出可乘解，由此得到了精确解的形式表示.进一步，我们引进了ε-近似解的概念并给出了求ε-近似解的稳定性定理.利用稳定性定理，我们将求ε-近似解转化为求函数的最小值.先给出Ku=f解的截断表示(零空间的标准正交项取n2项，正交项的系数为未知数)，将其作为待求的ε-近似解.其次，利用可乘解的判定定理，通过恰当的选取未知数，巧妙的将n2个未知数下降为n个，从而将求ε-近似解转化为求n元4次多项式的最小值.由此，得到了求AuBu+Cu=f的ε-近似解的一个有效的数值算法. 第4章中，用类似第3章中的方法，在再生核空间中给出了A(v2)+Cv=f型非线性算子方程解的表示及求其ε-近似解的数值算法. 第5章中，讨论了求解AuBu+Cu=f型的人口方程.先做一次积分消去一个边界条件，再用一次边界齐次化将另一个边界条件齐次化后融入再生核空间，然后利用第3章提供的求解方法求解. 第6章中，讨论了一类非线性常微分方程的求解.首先，将其视为AuBu+Cu=f型的算子方程并在不加任何条件的前提下证明了算子A，B，C的有界性.然后，用第3章提供的方法，给出了其精确解的形式表示及求其ε-近似解的一个数值算法.