【摘 要】
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在本文中,我们研究了两类系统（Hamilton系统和耗散系统）响应解的存在性问题.响应解指的是与系统的驱动有着相同频率的拟周期解.具体来说,我们研究的Hamilton模型是带有拟周期驱动的非适定Boussi-nesq方程:且满足铰链边界条件:其中ω=（1,α）,α为任意的无理数.本文的证明基于修改的Kolmogorov-Arnold-Moser（KAM）定理.我们将在每一步KAM迭代过程中构造一个
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在本文中,我们研究了两类系统（Hamilton系统和耗散系统）响应解的存在性问题.响应解指的是与系统的驱动有着相同频率的拟周期解.具体来说,我们研究的Hamilton模型是带有拟周期驱动的非适定Boussi-nesq方程:且满足铰链边界条件:其中ω=（1,α）,α为任意的无理数.本文的证明基于修改的Kolmogorov-Arnold-Moser（KAM）定理.我们将在每一步KAM迭代过程中构造一个辛坐标变换,使得所有变换的复合将原系统约化为一个新的系统,而新的系统以零点为平衡点.由于α的任意性,频率ω=（1,α）是超越Diophantine或Brjuno频率的,我们将其称之为Liouvillean频率.此外,本文所考虑的模型是非适定的且Hamilton结构复杂,这使得KAM迭代过程中出现的同调方程与经典的无穷维KAM理论有所不同.本文所得到的结果扩充了已有文献中针对适定方程或者扰动频率是Diophantine的结论.我们所研究的耗散模型是满足强阻尼和拟周期外驱动的常微分方程（简称ODE）.在对非线性项和驱动项做一些正则性假设且对驱动频率ω没有施加任何算术性条件下,我们证明方程的响应解确实存在.此外,当ε（其中ε是阻尼系数的逆）在以原点为边界且不包含原点的区域里取值时,我们获得的解依赖于ε且具有最佳正则性.与此同时,我们证明响应解在点ε=0处连续但不可微.在本文中,我们所研究的耗散ODE可以是高维的且对未扰方程不做Hamilton假设.基于我们所给出的研究方法,它可以同时得出解析和有限可微的结果（包括高阶可微和低阶可微的情形）.例如我们可以处理扰动在L2空间且非线性项仅是Lipschitz连续的,或者扰动项在H1空间中,非线性项是C1+Lip连续的情况.在具体证明过程中,我们将耗散系统响应解的存在性问题转化为具有一定光滑性的函数所构成的Banach空间中的不动点问题.
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