量子微积分,又名q-微积分,其基本概念最早由F.Jackson建立。随着q-微积分理论的不断发展,它在物理及其它领域的应用越来越广泛,很多实际问题都可归结为量子差分方程边值问题(即q-差分方程边值问题)的研究。据目前研究所知,线性或非线性q-差分方程边值问题的研究取得了很多研究成果,但带p-Laplacian算子的q-差分方程边值问题的研究却很少。与此同时,基于数学物理、交叉学科的快速发展,后量子微积分(即(p,q)-微积分)应运而生,在经典力学和量子力学中,它都有着重要的应用。(p,q)-差分方程作为q-差分方程的更一般化,广泛地应用于超几何函数、量子群和量子代数等。然而,对于非线性(p,q)-差分边值问题的研究刚刚起步,因此,这类问题的研究显得极其重要,亟待进一步的深入,这对于量子差分方程的理论推广和实际应用都起着至关重要的作用。针对以上研究情况,本文的研究内容主要分为以下几个方面:1、研究了带p-Laplacian算子的无穷区间上的二阶非线性q-差分方程边值问题解的存在性。首先,给出线性q-差分方程边值问题的Green函数,定义算子T,并证明算子在无穷区间上具有全连续性;其次,通过利用锥上的Avery-Peterson不动点定理,获得了带p-Laplacian算子的无穷区间上的二阶非线性q-差分方程边值问题三个正解的存在性定理;最后,列出应用实例来检验结果的正确性。2、研究了非线性(p,q)-差分方程Dirichlet边值问题的可解性。首先,给出了二重(p,q)-积分交换积分次序公式,并求解线性(p,q)-差分方程Dirichlet边值问题的Green函数;其次,通过运用Banach压缩映像原理证明非线性(p,q)-差分方程Dirichlet边值问题解的唯一性定理,运用Leray-Schauder非线性抉择定理、Leray-Schauder连续定理,研究该(p,q)-差分边值问题解的存在性;最后,列出两个应用实例验证结果的正确性。3、研究了二阶非线性(p,q)-差分方程非局部问题解的存在性与唯一性。首先,通过运用Banach压缩映像原理证明二阶非线性(p,q)-差分方程非局部问题解的唯一性;其次,运用Krasnosel’skii不动点定理,证明该(p,q)-差分边值问题解的存在性;最后,给出该问题的Lyapunov不等式,列出两个应用实例。