本文主要包括个部分.第一部分主要内容来自于[HL2]和[LS].在这部分,我们主要研究具有奇异边界的区域上和圆环形区域上满足混合边值条件的（?）-方程.第二部分主要内容来自于文章[HLx],这部分主要是研究多复变中紧致强拟凸实代数超曲面能否全纯嵌入到固定球面的问题.第三部分的主要内容来自于[HL1].在这部分,我们将给经典的Calabi定理一个简单而基本的新证明.本文第一部分我们利用Catlin在[Cat]中提出的方法系统的研究了月牙形区域上满足混合边值条件的（?）-方程.我们得到了月牙形区域上,满足混合边值条件的（?）-算子在L2-空间意义下所决定的上同调群总是有限维线性空间.我们同时也研究了圆环上满足混合边值条件（?）-方程的可解性理论.设Ω1,Ω2分别是具有Lipschitz边界,C2边界的拟凸域,并且满足Q2（?）（?） Ω1.设Ω=Ω1\Ω2.我们考虑在Ω上满足边值条件的算子（?）mix.当2<q≤n一1时,我们得到由（?）mix算子所决定的上同调群HL2,（?）mix（p,q）（Ω）为0.当q=1时,上同调群HL2,（?）mix（p,1）（Ω）是无限维线性空间.进一步,我们证明了HL2,（?）mix（p,1）（Ω）≌HW1（p,0）（Ω2）HL2（p,0）（Ω1）.这里,HW1（p,0）（Ω2）是Q2上系数在W1（Q2）中的Bergman空间.同时,当Q1,Q2分别具有C∞光滑的边界时,我们也得到了（?）mix算子在Ω上的边界正则性理论.本文的第二部分的研究动机来源于Huang与Zaitsev在他们的文章[HZ]中提出了一个公开问题：在Cn中是否存在不能够全纯嵌入到任何球面的紧致强拟凸实代数超曲面?在这部分,我们利用Huang与Zaitsev在他们文章[HZ]中的技巧,证明了对于任意给定的正整数NO,在C2中总存在一个不能全纯嵌入到（?）BNO的紧致强拟凸实代数超曲面.这里,BNO是CNO中的单位球.第三部分,我们利用函数方程对全纯函数延拓的控制给出经典Calabi定理的一个简单而基本的新证明.