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设Λ(?)Rn为一个可数集,EΛ={e2πi<λ,x>:λ ∈ Λ},μ为Rn上具有紧支撑的Borel概率测度,如果EΛ是L2(μ)的正交基,则称μ为谱测度,Λ为μ的谱,(μ,A)称为谱对.设M为扩张整矩阵(即M的所有特征值的模大于1),D(?)RN为有限数字集且基数为|D|.定义如下表达式:Φd(x)=M-1(x+d),x ∈ Rn,d ∈ D,则称{Φd(x)}d∈D为迭代函数系(IFS).IFS生成一个满足测度方程μ=1/|D|∑d∈Dμoφd-1的自仿测度 μ:=μM,D,它的支撑在IFS的吸引子T(M,D)上.1998年,Jorgensen和Pedersen[43]给出了第一个奇异谱测度,此后,分形测度的谱性问题成为了 一个热门的研究问题.在这篇论文中,主要研究两类自仿测度μμM,D的谱性问题.本文共分四章,具体安排如下:在第一章,首先介绍一些本方向的基础知识,然后介绍了分形测度的研究现状,最后列出了文章的主要结论.在第二章,主要研究三维Sierpinski垫测度,即由整数扩张矩阵M=diag[p1,p2,p3](其中pi(?){0,±1})和数字集D={(0,0,0)t,(1,0,0)t,(0,1,0)t,(0,0,1)t}所生成的自仿测度μM,D的非谱问题,得到了如下两个结论:(i)若p1,p2,p3中有两个为奇数,则L2(μM,D)空间中不存在无穷正交系;(ii)若|p1|,|p2|,|p3|中有两个为不等的奇数另外一个为偶数时,则L2(μ,M,D)空间中可以有任意多个相互正交的指数函数.这项工作推广了 Wang和Li在Math.Nachr[38]上发表的L2(μμM,D)空间中可以有8个相互正交指数函数这一结论.在第三章,主要研究了平面上由扩张矩阵M ∈ M2(Z)和三元数字集D={(0,0)t,(1,0)t,(2,9)t}生成的自仿测度μM,D的非谱问题.得到当det(M)∈3Z时,L2(μM,D)空间中具有有限个相互正交指数函数的充要条件.此外,对于标准的三元数字集D={(0,0)t,(1,0)t,(0,1)t}所生成的测度μM,D,An,He和Tao[49]得到了其为谱测度当且仅当(M,D)为兼容对.但对于本文所考虑的数字集,这一充要条件就不成立了.文章最后我们将给出一个具体例子来说明(M,D)不为兼容对时,μM,D仍可能为谱测度.在第四章,对全文进行了总结,同时提出了一些问题为我们后续研究的目标.