首先,我们考虑对应于一维准晶体的Frenkel-Kontorova模型并描述拟周期平衡态的KAM理论。主要定理是后验形式的。我们证明：给定平衡态方程的一个近似解并且这个近似解满足合适的非退化条件,那么,我们在近似解附近找到平衡态方程真正的解,而且,这个真正的解在近似解的局部是唯一的。这个结果可以有效应用于数值计算,并且直接导出一些推论：保证Lind-stedt级数扰动展开式的所有展开项的存在性、导出关于解正则性的初始化引导程序和产生一套计算在什么时候解的解析性遭到破坏的有效方法。因为平衡态方程没有简单的动力学描述,所以证明方法主要基于一些恒等式。这些恒等式同时也可以导出非常有效的算法。其次,我们考虑高维格点上的Frenkel-Kontorova模型。我们基于壳函数的方法给出Aubry-Mather理论在离散椭圆偏微分方程中一些基本事实的简洁证明（我们同时会和其他方法进行比较）。例如,拟周期极小构型的存在性、在极小构型中有间隙的情况下,会出现其它的非极小的临界构型。这里格点的维数可以是任意的。另外,我们还可以将其应用于非交换格点的情形,如Bethe格点。