二十世纪六十年代以来，图论获得了空前的发展。应用图论来解决物理学、化学、生物学、网络理论、心理学、计算机科学等学科问题已显示出极大的优越性。因子理论是图论的一个重要分支，在图论研究中得到极大关注。在日常生活中，许多优化问题和网络问题诸如计算机网络中的文件传输问题、时间表问题等等都涉及到图的因子、因子分解和正交因子分解[1，6]。文件传输问题可以模拟为因子和（0，f）-因子分解（或f-染色）。本文我们主要研究图的因子、分数因子和连通因子。本文中所考虑的图均为无向简单图。设G是一个具有顶点集V（G）和边集E（G）的图。对v∈V（G），v在G中的度用dG（v）表示。我们用NG（v）表示在G中与v相邻的顶点集合，NG[v]表示N+G（v）∪{v}。如果S是V（G）的一个子集，为了方便，我们用dG（S）代替sum from v∈S to dG（v）。如果u∈V（G）＼S，我们用eG（u，S）表示连接u和S中的一点的边的数目。若T（?）V（G）＼S，我们用eG（T，S）代替sum from u∈T to eG（u，S）。对V（G）的一个子集S，用G-S表示由V（G）＼S导出的子图，用G[S]表示由S导出的子图。连通图G的点割是V（G）的子集S使得G-S不连通。k-点割是有k个元素的点割。G的连通度k（G）是使得G有k-点割的最小的k。图G称作是k-连通的如果k（G）≥k。图G的边割是E（G）的子集[S，V（G）＼S]，其中S是V（G）的非空子集。k-边割是有k个元素的边割。G的边连通度λ（G）是使得G有k-边割的最小的k。G称为是k-边连通的若λ（G）≥k。令g和f是定义在V（G）上的两个整数值函数使得对所有的x∈V（G），0≤g（x）≤f（x）。图G的（g，f）-因子F是G的支撑子图且对所有的x∈V（G），满足g（x）≤dF（x）≤f（x）。如果对任意的x∈V（G），g（x）=f（x），则（g，f）-因子称作f-因子。若f（x）=k，则f-因子称作k-因子。特别的，若对任意的x∈V（G），g（x）=f（x）=1，（g，f）-因子称为1-因子，即完美对集。图G的完美对集可参见[6]．对图的因子的研究始于一百多年以前。1859年，Reiss证明了K2n图可分解为1-因子。1891年，J．Peterson证明了任意偶数度图可以分解成边不交2-因子的并。而且他证明了每一个2-连通3-正则图都有一个1-因子。这两个结果被认为是现代图因子理论的开端。1947年Tutte[90]给出了图的1-因子存在的判别性准则。这个优美的定理可看作是因子理论中最基本的结果。1952年Tutte[91]又给出了图有f-因子的判别准则。Lovasz[65]得到了图有（g，f）-因子的判别准则。从此，关于因子的结果大量涌现出来。分数（g，f）-示性函数h是一个取值于[0，1]之间的函数，它分配给图G的每条边一个数使得对每一个x∈V（G），都有g（x）≤dGh（x）≤f（x），其中dGh（x）=∑e∈Exh（e）是x∈V（G）的分数度且Ex={e：e=xy∈E（G）}。设h是图G的一个分数（g，f）-示性函数。设Eh={e：e∈E（G）且h（e）≠0}。若Gh是G的支撑子图使得E（Gh）=Eh，则Gh称作是G的分数（g，f）-因子。当对任意的x∈V（G），g（x）=f（x）。分数（g，f）-示性函数称作是分数f-示性函数。设h是图G的一个分数f-示性函数。设Eh={e：e∈E（G）且h（e）≠0}。如果Gh是G的支撑子图使得E（Gh）=Eh，那么Gh称作是G的分数f-因子。分数图论是相对年轻的分支。关于这方面理论的第一篇论文是由Claude Berge[4]在1978写的分数图论。1997年E．R．Schdnerman和D．H．Ullman写了一本新的分数图论[85]，这本专著几乎涵盖了现代分数图论的所有方面，其中包括分数匹配、分数边着色、分数着色和分数同构等分数图论所涉及的内容。在图论中遇到的整数值常量几乎都可以给出它的类似的分数形式。连通因子理论是由M．Kano提出的，1993年他提出了一些关于图的连通因子的问题和猜想[35]。在过去的十年中，许多学者致力于解决M．Kano提出的问题和猜想。从而促进了连通因子理论研究的进展，获得了若干关于连通因子的存在性条件，包括度条件、连通度条件、联结数条件等的各种结果。本文分为五章，主要讨论了四个方面的问题。（1）图的（g，f）-因子存在的若干充分条件；（2）关于一致图的若干结果；（3）图的分数（g，f）-因子；（4）关于图的连通因子若干结果。第一章我们给出了简洁而概括的关于图的因子和分数因子的综述。第二章我们研究在K1，n-自由图和一般图中（g，f）-因子存在的条件。本章分为两部分来研究（g，f）-因子存在的条件。一部分是讨论在K1，n-自由图和一般图中（g，f）-因子存在的与图的独立数有关的条件，并指出在某种意义下这些条件是最好的。另一部分是研究图的联结数和Hamilton（g，f）-因子存在性的关系。定理2．1．6设G是一个连通的K1，n-自由图，a和b是整数，f是定义在V（G）上的非负整数函数使得对任意的z∈V（G），1≤n-1≤a≤f（x）≤b。若f（V（G））是偶数，δ（G）≥b+n-1，且α（G）≤4a（δ-b-n+1）／（b+1）~2（n-1），则G含有f-因子。下面的结果说明连通（f-2，f）-因子存在的独立数和最小度条件。定理2．1．7设G是一个连通的K1，n-自由图且|V（G）|≥3，a和b是整数，f是定义在V（G）上的非负整数函数使得对任意的x∈V（G），1≤n-1≤a≤f（x）-2≤b。如果f（V（G））是偶数，δ（G）≥b+n-1，且α（G）≤min{k（G），4a（δ-b-n+1）／（b+1）~2（n-1）}，那么G含有连通的（f-2，f）-因子。然后我们试图证明相似的结果在一般图中也是成立的并得到下列结果。定理2．1．9设G是一个连通的n阶图，a和b是整数，f是定义在V（G）上的非负整数值函数使得对任意的x∈V（G），1≤a≤f（x）≤b，其中n≥（a+b）。如果f（V（G））是偶数，δ（G）≥bn／（a+b），且α（G）≤4a（δ-b）／（b+1）~2，则G含有f-因子。定理2．1．10设G是一个n≥3阶连通图，a和b是整数，f是定义在V（G）上的非负整数值函数使得对任意的x∈V（G），1≤a≤f（x）-2≤b，其中n≥（a+b）。如果f（V（G））是偶数，δ（G）≥bn／（a+b），且α（G）≤4a（δ-b）／（b+1）~2，那么G含有连通的（f-2，f）-因子。我们还得到下列结果。定理2．1．11设G是一个阶数为n的连通图，a和b是整数，f是定义在V（G）上的非负整数值函数使得对任意的x∈V（G），1≤a≤f（x）≤b，其中n≥（a+b）。如果f（V（G））是偶数，δ（G）≥bn／（a+b）且α（G）≤4a（δ-b）／（b+1）~2，那么G含有连通的（f，f+1）-因子。如果n=a+b，我们得到下列推论。推论2．1．1设G是一个阶数为n的连通图，a和b是整数，f是定义在V（G）上的非负整数值函数使得对任意的x∈V（G），1≤a≤f（x）≤b，其中n=a+b。如果f（V（G））是偶数，δ（G）≥b且α（G）≤4a（δ-b）／（b+1）~2，那么G含有一个f-因子。图G的联结数定义是由Woodal给出的，bind（G）=min{|NG（X）|／|X||+φ≠X（?）V（G），NG（X）≠V（G）}。许多作者研究了图的联结数和因子存在性的关系。第二节我们给出关于图G的联结数和Hamilton（g，f）-因子存在性之间的关系。定理2．2．4设G是一个阶数为n的连通图，a和b是整数且4≤a≤b。设g和f定义在V（G）上的正整数函数使得对任意的x∈V（G），a≤g（x）＜f（x）≤b。设n≥（a+b-5）~2／a-2。如果bind（G）≥（a+b-5）（n-1）／（a-2）n-3（a+b-5），且对V（G）任意的非空独立子集X，|NG（X）|≥（b-3）n+（2a+2b-9）|X|／a+b-5，那么G包含Hamilton（g，f）-因子。第三章我们研究若干有指定性质的（g，f）-因子、f-因子和k-因子存在的充分条件。本章我们考虑三方面的问题。第一节我们首先给出覆盖图、消去图和一致图的定义，研究k一致图存在的一个度条件，推广了[12]中的结果；第二节我们给出了若干关于（m，n）-图和（g，f）一致图关系的结果；第三节讨论了f一致图存在的若干充分条件并说明这些条件在某种意义下是最好可能的。定理3．1．3设k≥2是整数，G是一个阶数为n≥4k+8的图，δ（G）＞k+1且kn是偶数。如果对G的任意两个不相邻接的顶点x和y，有max{dG（x），dG（y）}＞n／2。那么G是一个k一致图。关于有指定性质的（g，f）-因子的存在性，我们得到了以下结果。定理3．2．4设G是一个图，m≥2是整数，g和f是定义在V（G）上的两个整数值函数使得对任意的x∈V（G），0≤g（x）＜f（x）。那么对下面两个条件，（1） G是一个（mg，mf-m+1）-图且对任意的x∈V（G），g（x）是偶数；（2） G是一个（mg+m-1，mf）-图且对任意的x∈V（G），f（x）是偶数，只要其中之一成立，则G是一个（g，f）一致图。定理3．2．5设G是一个连通图，m≥2是整数，g和f是定义在V（G）上的两个正整数值函数使得对任意的x∈V（G），g（x）≤f（x）。那么（mg+1，mf）-图和（mg，mf-1）-图是（g，f）一致图。如果对g和f加以限制，我们可得到下列更强的结果。定理3．2．6设G是一个图，m≥2是整数，g和f是定义在V（G）上的两个偶整数值函数使得对任意的x∈V（G），0≤g（x）＜f（x）。如果G是一个（mg，mf）-图，那么G是一个（g，f）一致图。定理3．3．2设G是一个2-边-连通图，f是定义在V（G）上的整数值函数使得对任意的x∈V（G），f（x）≥2，|V（G）|≥maxx∈V（G）f（x）+3。如果对任意不相交的S，T（?）V（G）使得|S|≥2，δG（S，T）=dG-S（T）-f（T）-hG（S，T）+f（S）≥2max f（x）。那么图G是一个f一致图。如果对任意的x∈V（G），f（x）=k，则[56]中的结果是定理3．3．2的推论。推论3．3．3设G是一个2-边连通图，k≥2是一个整数，|V（G）|≥k+3。如果对V（G）的任意的两个不相交的子集S和T使得|S|≥2，有δG（S，T）=dG-S（T）-k|T|-hG（S，T）+k|S|≥2k，则图G是一个k一致图。第四章我们研究分数（g，f）-因子。本章分为两节，首先我们证明图的分数f-因子存在的独立数条件，这说明猜想2．2．8的分数形式是正确的，并且我们证明在某种意义下定理的条件是最好可能的。其次，我们讨论了分数一致图存在的若干条件。定理4．1．4设G是一个连通图，f是定义在V（G）上的非负整数值函数使得对任意的x∈V（G），0≤a≤f（x）≤b。如果δ（G）≥b且α（G）≤4a（δ-b）／（b+1）~2，那么G包含分数f-因子。第二节我们研究有指定性质的分数（g，f）-因子的存在性。定理4．2．1设k≥2是一个整数，G是一个阶数为n≥k+1的连通图。如果对V（G）的任意两个不相交的子集S和T1使得|S|≥2都有φ（S，T1）=k|S|-k|T1|+dG-S（T1）≥2k-1，那么G是一个分数k一致图。定理4．2．2设k是一个正整数，G是一个阶数为n≥k+2的图。如果对任意的S（?）V（G）且|S|≥1，sum from j=0 to k（k-j）pj（G-S）≤k|S|-k，其中pj（G-S）表示在G-S中度数为j的顶点的数目。那么G是一个分数k一致图。当k=1，我们得到一个图是分数1一致图的充要条件。定理4.2.3设G是一个连通图。那么G是一个1分数一致图的充要条件是对任意的S（?）V（G），当S不是独立集时i（G-S）≤|S|-2；当S是独立集时i（G-S）≤|S|，其中i（G-S）表示G-S中孤立顶点的数目。根据定理4.2.3，我们可得到下列结果。推论4.2.4设G是一个阶数为n≥4的连通图。如果对任意的S（?）V（G），i（G-S）≤|S|-2，则G是一个分数1—致图。第五章我们讨论图的连通因子。众所周知，连通因子问题是一个NP-完全问题。本章我们给出了若干与最小度、联结数、独立数有关的连通（g，f）-因子和Hamilton（g，f）-因子存在的充分条件。定理5.1.4设G是一个n阶连通图，a，b是两个整数且2≤a≤b，g，f是两个定义在V（G）上的两个整数值函数使得对任意的x∈V（G），α≤g（x）≤f（x）≤b且，f（V（G））是偶数．如果n≥（（a+b）~2）╱a，bind（G）＞（（a+d）（n-1））╱an，那么G包含一个连通的（g，f+1）-因子。定理5.1.5设G是一个n阶连通图，a和b是整数且3≤a≤b和b≥4，g，f是两个定义在V（G）上的正整数函数使得对任意的x∈V（G），a≤g（z）≤f（x）≤b。设定n≥（（a+b-4）~2）╱（a-2）且f（V（G））是偶数。如果bind（G）＞（（a+b-4）（n-1））╱（（a-2）n-5╱2（a+b-4））且对任意的非空独立集合X（?）V（G），有NG（X）≥·（（b-3）n+（2a+2b-9）|X|）╱（a+b-5）那么G含有一个Hamilton（g，f）-因子。定理5.2.2设G是一个n阶2-连通图，k≥2是整数使得n≥3k—1且kn是偶数，如果a（G）≤（4k（δ-k））╱（k+1）~2，δ（G）≥（n+1）╱3，并且对G中任意的两个不相邻接的顶点u，v，max{d（u），d（v）}≥（n-k）╱2。那么G有连通的[k，k++1]-因子。