上世纪八十年代以来,随着计算机技术的不断发展,图像处理问题得到了愈来愈多的关注和研究。基本的研究方法主要有以下三类:基于概率和统计的方法、基于傅立叶与小波变换方法以及变分和偏微分方程方法。其中变分与偏微分方程图像处理方法由于其自适应性较强,而且具有各向异性的扩散特性,在处理图像的同时可以很好的保持边界和纹理等细节信息,在过去的二十几年中获得了巨大的发展。其研究领域包括:图像分割、图像去噪、去模糊（逆卷积）、图像分解、图像修补、图像重建以及图像纹理分类等。本文集中讨论了偏微分方程在图像去噪、图像修补以及图像分解等几个方面的应用和研究,主要工作和创新成果如下:在第三章中,针对不同的噪声,提出了三种稳定的去噪模型。首先对于加性高斯噪声本文提出了一种基于L^p范数的局部自适应的变分模型,考虑图像空间为变指数的Sobolev空间W^1,p,在此空间中定义了一个积分能量泛函,通过变分方法得到了一个关于时间的扩散方程,并从理论上分析了该扩散过程解的存在唯一性,最后从几何的观点给出了直观的解释。对于乘性噪声,针对现有的去噪模型往往是一个非凸的优化问题,理论证明和数值求解都存在着一定的困难,本文提出了一种新的全局凸的变分模型来解决此问题,模型的严格凸性保证了该算法具有良好的理论性质,证明了该算法解的适定性,最终实验结果表明该算法具有良好的效果。椒盐噪声作为一类特殊的图像噪声,由于传统的ROF模型等对其处理效果不够理想,对此本文提出了一种新的基于模糊检测和保梯度的两步去噪算法。最后分析了该算法的稳定性,实验表明该算法在去噪的同时,有效的保持了图像的结构信息。在第四章中,针对传统的变分修补模型无法修补纹理图像,提出了一种局部纹理图像修补模型。通过引入局部纹理方向,并在局部纹理坐标系下建立新的修补模型,修正了传统的TV修补模型的扩散方向,实验表明该算法不仅可以修复结构信息,而且还可以修复简单的纹理缺失信息。最后从理论上分析了该算法的适定性,并从修补机制上分析了该算法与传统算法的联系。在第五章中,提出了一种基于图像分解的非线性保拓扑人脸识别算法。首先利用L^p图像分解模型和自商图像光照归一化模型对样本人脸图像进行光照归一化处理。降低光照影响,然后利用本文提出的非线性保拓扑的人脸识别算法进行人脸识别,实验表明该算法对光照具有良好的鲁棒性,在一定程度上提高了识别的准确率。