微分方程边值问题在应用数学、物理学等领域有广泛的应用。其丰富的实际应用背景，使得常微分方程边值问题正解的存在性与多重性问题成为近些年研究的热点问题之一。文章的主要研究对象是一类四阶微分方程边值问题以及周期边值问题正解的存在性和多重性。　　第一部分给出了关于变分方法的发展历程，介绍了变分方法的研究历史及其意义，并说明了变分方法在各学科领域的重要应用，阐述了目前国内外研究现状以及发展趋势。　　第二部分为文章的结论做了充分的知识准备，首先介绍了变分方法的一些概念，所谓的变分法就是求泛函极值的方法。导出泛函取得极值的必要条件，即应满足的就是Euler方程。还介绍了属于现代变分理论非线性分析中的一个重要方法极小极大方法，并说明用此方法通过山路引理可以证明边值问题临界点的存在性且估计临界点的个数。　　第三部分研究的是四阶微分方程边值问题。一类弹性梁形变过程中产生的四阶微分方程边值问题，主要通过变分方法和极值原理在四阶微分方程正解的存在性和多重性的应用，借助山路引理的基本结论，得到所研究问题至少存在两个正解的结果。　　第四部分研究的是微分方程周期边值问题。文章研究了一类周期边值问题正解的存在性，主要借助临界点理论和变分方法，将该周期边值问题获得多个正解存在性的条件做进一步推广，最后，通过一些例子说明了所得结果的合理性。　　第五部分是对本文的整体总结以及对变分方法研究的进一步展望。