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流形的几何与拓扑之间的关系是微分几何中的一个重要的问题。其中一个基本而且困难的问题是关于正截面曲率流形的拓扑。随着黎曼流形上的分析,临界点的概念和比较定理的完善,Gromov在1981年给出了一个正截面曲率完备黎曼流形贝蒂数的上界估计。本文将会补充Gromov的论文中一些省略的证明,给出一些概念具体的含义和最后结论的完整证明,并且用packing lemma将Gromov的结果由优化为其中而bi是第i个贝蒂数。