随着数学这门学科的发展,泛函分析在分析学中有着非同寻常的地位.泛函分析是一门比较全新的学科,随着不断的发展,受到了量子力学和数学物理方程的推动,后来又整理了一系列成果.偏微分方程一般用来解决生活中的一些重要问题,它一定程度上表达了大多数一类物理现象的共性.然而定解条件约束了一些问题,折射出问题的个性,它对于不同的情况提出了不同要求.所谓的定解问题,通常指的是把方程和定解的条件变成一个整体的过程.想要求出定解问题,就要首先求出定解问题的通解,其次再来确定函数,这才是求解偏微分方程的基本步骤.不过一般的话求解通解没那么简单,因此上面所说的通过定解条件来确定函数这一说实际上是有难度的.不过,我们还可以用分离系数法来求解偏微分方程.定解的求解主要包括有界空间和无界空间,所求解的方法有傅里叶级数法和分离系数法,还有分离变数法等.但由于讨论的问题不同,所以这两种情况的求解方法也有所不同.比如有些方法无法求得无界空间的定解,但却可以求解有界空间.当然求解定解问题的方法不止这些,当我们遇到一维空间的方程定解问题时,还可以灵活使用拉普拉斯变换法来求解.有限差分法和变分法是我们常用的求解方法,有限差分法不是让我们先用计算机计算,而是先把定解问题转化为变分问题再进行计算;变分法是把定界问题转化成一个变分问题,再去求这个变分问题的一次或者二次近似解.随着物理科学的不断发展,偏微分方程逐渐地变成了数学的中心。本文主要分为三章,第一章是绪论,介绍了偏微分方程的有关研究背景,对变分法、二阶椭圆型方程、泛函分析等所学知识的一个整体概括.第二章是一类半线性椭圆型方程边值问题的可解性研究.在这一章里主要通过考察半线性椭圆型方程的边值问题,来研究解的存在性和解的唯一性定理.我们主要第一部分主要篇幅放在了考察形如问题(1)这一类半线性椭圆型方程的边值问题研究,然后通过给出两个定理的证明,最终证明问题(1)自多只有一个解,从而验证了解的唯一性定理.第三章利用了里斯方法,不动点定理等理论研究了微分方程边值问题的可解性.这一章分为了两部分,第一部分介绍了里斯方法在求微分方程边值问题的近似解的原理及步骤.第二部分研究了形如:这一类常微分方程边值问题,通过转化为求变分问题的极值函数来求得方程的近似解.