有限元法（Finite element method,FEM）是一种用于求解工程和数学建模中微分方程的流行的方法,在虚拟手术切割等基于物理的仿真领域有着重要的应用。为了对问题进行求解,FEM对整体进行离散化处理,而这个离散化的过程是通过网格划分来实现的。有限元方法的计算效率以及精度主要取决于生成的网格的数量和质量。在虚拟手术中,切割是最重要的操作之一。对可变形对象进行切割或解剖的能力对于虚拟手术来说是至关重要的。当前的大部分虚拟切割技术都是基于网格实现的,切割过程中对网格的拓扑和几何的改变会导致网格中单元数量快速增长,并且会导致低质量单元的产生,对虚拟切割造成不利影响。如何创建能够精确捕获几何特征,具有高质量的单元,并且有效控制单元数量的网格一直是相关领域中的重点和难点问题。本文针对有限元计算中的网格优化和网格划分方法及其在虚拟手术切割中的应用进行研究。具体研究内容如下:为了解决现有网格优化算法中的拓扑优化方法在处理单元数量的局限性及对网格质量提升效果有限的问题,本文提出一种新的局部网格重连算法,多面重构（multi-face reconstruction,MFRC）,并基于MFRC开发了一种四面体网格优化方法。以低质量单元为中心构造空腔,合并空腔中的内部点从而有效地消除最差质量单元,以凹面作为初始搜索面并且构建备忘录从而有效地节省运行时间。通过对多个网格模型进行的网格优化实验,证明了基于MFRC的四面体网格优化方法可以在可接受的时间内消除网格中的最差质量单元,并且能够有效地改善四面体网格的质量分布。本文提出了一种高阶Bezier四面体网格划分算法。基于后验法的思想,从表面三角形网格开始,首先生成高质量的线性四面体网格,根据需要的阶次向线性网格插入节点,提出使用基于二次误差度量的特征检测方法捕捉模型几何特征,以模型的几何特征为约束将表面节点拟合到模型表面,最后对生成的高阶网格执行优化以提高质量。通过对多个模型进行的高阶网格划分实验,证明了本文提出的算法可以良好的适应模型的几何特征,并且可以保证在生成的高阶网格中不存在无效单元。为了满足虚拟切割中触觉反馈的真实性要求,本文提出一种基于惩罚的触觉反馈方法。在碰撞检测阶段,提出一种基于有符号距离场（Signed distance field,SDF）的精确碰撞检测方法获得接触点信息。在碰撞响应阶段,根据接触点的位置、法向量、穿透深度等信息,使用基于惩罚的方法计算反馈力,结合使用虚拟耦合法,可以获得稳定的触觉反馈。将上述提出的基于MFRC的网格优化算法、高阶Bezier四面体网格划分算法以及基于惩罚的触觉反馈方法应用于虚拟手术切割,提出一种基于网格划分的虚拟切割算法。基于最少单元生成的思想,根据不同的切割类型进行网格划分来构造切割表面,使用本文提出的基于MFRC的网格优化算法控制网格规模和网格质量,在切割边界处使用本文提出的高阶Bezier四面体网格划分算法划分单元,使用基于惩罚的方法计算虚拟切割的反馈力。使用本文提出的基于网格划分的虚拟切割方法在多个模型上进行多种切割操作实验,证明了本文提出的虚拟切割算法能够有效控制切割过程中的网格质量和网格规模,并且可以获得到高质量的切割面。