固体内部的夹杂物、第二相以及孔洞等对材料的性能有着重要的影响,包括粒子增强复合材料。对于这类材料的数值模拟,有限元需要采用数量巨大的单元。虽然边界元只需在粒子边界,即粒子与基体间的界面上剖分单元,然而为了能够精确地模拟粒子的曲面边界,即使采用二次边界单元,采用较多数量的单元仍然是必不可少的。无论采用有限元还是传统的边界元,解题的规模都十分庞大,给问题的求解带来困难。采用高次单元是降低解题规模的有效途径之一,但由于包括高次闭合单元在内的传统单元上存在着端点和端线,对粒子进行离散时,单元几何在端点和端线处不光滑,其外法线和场变量的导数存在着跳跃,在这些位置上并不能保证数值模拟的精度。针对这些问题,本文在传统的高次闭合单元的基础上,利用椭圆和椭球的对称性、光滑性和周期性等几何特征,构建了全新的高次光滑等参数单元,提出并改进了边界元法中遇到的各种奇异积分和近奇异积分的数值计算方法。在二维问题中,利用椭圆粒子或孔洞几何形状的对称性、光滑性和周期性,通过重复使用单元两端节点作为补充的插值节点的方式,在不增加实际节点数目的条件下,提高了Lagrange插值多项式的阶次,消除了传统闭合单元的端点效应,构建了新的高次光滑椭圆边界单元,大大提高了拟合的精度。为进一步提高效率,通过将Lagrange插值多项式写成单项式之和,并进一步写成嵌套乘积的形式,实现了不同节点数量与分布的插值形函数的嵌套积系数的计算机程序自动计算,避免了冗长的高次单元形函数人工推导的麻烦。对于三维问题中的椭球粒子或孔洞,利用椭球几何形状的对称性、光滑性和周期性以及节点的重复使用来构建高次光滑椭球边界单元。椭球表面的离散沿纬线和经线两个方向来进行,注意到所有的纬线都是闭合的圆,采用与二维椭圆粒子相同的做法来消除传统闭合单元沿纬线方向的端线效应。沿经线方向,由于闭合单元的经线都是开放的半圆或半椭圆,两个极点是所有经线的共同端点,因此采用在经线两端越过极点的位置选择补充适量的插值节点的方式加以解决,从而使两个极点均位于单元的内部,消除了传统闭合单元沿径线方向的端点效应。这样,沿纬线和经线两个方向都提高了Lagrange插值多项式的阶次,在不增加实际节点数目的条件下,大大提高了拟合的精度。通过大量的数值算例,验证了高次光滑边界单元的正确性与有效性。与低阶单元相比,高次光滑边界单元能够大大降低节点的数目,从而降低解题规模提高计算效率。与传统的闭合单元相比,高次光滑边界单元能够大大提高计算的精度,适合用于含有夹杂物、第二相、孔洞一类固体材料性能的大规模数值模拟。最后简要介绍了本文模型的局限性和进一步的工作展望。