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谱方法是一种既古老双新兴的求解偏微分方程的数值方法.大量的实际计算也证明了谱方法确是一种有效的数值方法，已被广泛应用于科学与工程计算领域中。
本文研究了用勒让德伽略金方法求解椭圆型最优控制问题。我们首先建立了离散格式的误差估计、稳定性和收敛性分析.通过适当选取基函数使离散方程组的系数矩阵稀疏，利用向前Legendre变换和身后Legendre变换可提高算法的效率。且分别对一维椭圆问题和二维椭圆问题给出了两个数值实验来验证误差估计，实验结果表明本文构造的数值求解方法具有很好的实用效果。本文是最先将谱方法应用于计算分布式最优控制问题，得出了相关的收敛率分析，并分别针对一维和二维问题给出了算例，为在这一领域进行一步的研究铺平了道路。