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不变子空间问题是泛函分析历史上一个著名的问题。本文在说明了相关历史背景和预备知识后,主要讨论了Banach格上两类算子-AM-紧算子和Dunford-Petltis算子的控制性质和不变子空间问题。
第一部分是本文的主要内容,讨论了AM-紧算子的性质及其不变子空间结果。首先在前人对AM-紧算子的研究基础上,较为全面的总结了它的各种性质,重点研究了它的序结构,得到了AM-紧算子的控制性质,即:若Banach格E上算子T,S满足0≤S≤T,T是AM-紧算子,则S<2>是AM-紧算子。接着我们引入了AM-紧友好算子,讨论了相关性质并举了一些例子,最后得到了它的一类不变子空间,即:如果Banach格E上一个非零正算子B是AM-紧友好的,且在某正元x<,0>处拟幂零,则B有非平凡的闭的不变理想;特别的,如果另外一个正算子T与B交换,则T和B有共同的非平凡的闭的不变理想。
第二部分讨论了Dunford-Pettis算子的不变子空间问题。利用它与AM-紧算子的紧密关系,引入了类似的Dunford-Pettis友好算子,得到了相关的不变子空间结果,如:设B和S是Banach格上两个可交换的非零正算子,如果其中一个是局部拟幂零的,另外一个控制着一个非零的Dunford-Pettis算子,则B和S有共同的非平凡的不变闭理想。