【摘 要】
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设α是2d(d 2)次代数整数.如果α>1,并且除了 α和α-1之外,它的所有其它共轭元都在单位圆周上,那么称α是一个Salem数.Salem数的研究与著名的Lehmer问题紧密相关,Lehmer曾提出如下问题:是否存在常数c>0,使得对于任意代数整数α,如果它的Mahler测度M(α>1,有 M(α)>1+c 成立?事实上,上述问题也可以转换为寻找具有最小Mahler测度
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设α是2d(d 2)次代数整数.如果α>1,并且除了 α和α-1之外,它的所有其它共轭元都在单位圆周上,那么称α是一个Salem数.Salem数的研究与著名的Lehmer问题紧密相关,Lehmer曾提出如下问题:是否存在常数c>0,使得对于任意代数整数α,如果它的Mahler测度M(α>1,有 M(α)>1+c 成立?事实上,上述问题也可以转换为寻找具有最小Mahler测度的代数整数.目前已知的具有最小Mahler测度的代数整数是Lehmer多项式的最大实根,而这也是具有最小迹的Salem数,并且Lehmer猜想它是最小的Salem数,因此寻找具有最小迹的Salem数是一件很有意义的事.本文结合Salem数的性质,构造了一种新的辅助函数,对全实正代数整数的极小多项式的系数的上下界进行了优化,从而缩短了寻找具有最小迹的Salem数的时间,证明了次数2d=22的Salem数的迹trace(α)≥-1,并给出了最小迹为-2,次数2d=24,26的所有Salem数.
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