【摘 要】
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非线性波方程是许多非线性现象的一个数学模型,非线性波方程的解是研究非线性现象的重要理论基础,从而求解非线性波方程的精确解是非线性科学的重要部分.随着科学技术的发展
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非线性波方程是许多非线性现象的一个数学模型,非线性波方程的解是研究非线性现象的重要理论基础,从而求解非线性波方程的精确解是非线性科学的重要部分.随着科学技术的发展和人们的深入研究,出现了越来越多的求解非线性波方程的方法.本文利用微分方程定性理论与动力系统的分支方法,研究了两类非线性波方程(组)的精确行波解,即ZK-MEW方程和Kaup-Boussinesq方程组.ZK-MEW方程是物理应用中一个重要的非线性波方程.在本文的第二部分中,利用了分支方法研究了ZK-MEW方程.首先,给出了该方程所对应的平面系统的分支相图;获得了该方程的27个精确行波解,这些解包括:周期波解、周期爆破解、孤立波解、扭波解和爆破解;讨论了某些解在一些特殊参数下的极限形式.其次,通过比较前人所得的结果,在这些解中,有部分解是新解,如有理分式形式的孤立波解等.最后,利用了Software Mathematica软件验证了这些解的正确性.在本文的第三部分里,再次利用了动力系统的分支方法研究了一个著名的浅水波方程组,即Kaup-Boussinesq方程组.首先,给出了该方程组所对应的平面系统的分支相图,利用分支相图得到了该方程组的25个精确行波解,这些解包括孤立波解、爆破解、周期爆破解以及扭波解,获得了部分与前人不同的精确行波解.然后为了证明解的正确性,给出了一个利用Mathematica软件检验的程序.
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