有限体积元法,在国内又被称为广义差分法,自1982年被李荣华教授提出以来,由于其计算量减少,程序易于实现,而且能够保持物理量的局部守恒性,故其在计算流体力学、固体力学及等领域有着广泛的应用.　　本文主要作了以下的工作:　　(1)以下的一维非线性抛物方程的有限体积元及两重网格算法　　此处公式省略！　　关于非线性抛物方程建立有限体积元格式,在分析其有限体积元解的存在性时,借助于Brouwer不动点定理,引入算子Jh.如果算子Jh有不动点υ?,那么Unh=υ?即为有限体积元格式的解.而根据Brouwer不动点定理,需证明算子Jh有界.这可以根据所假设的系数及右端项满足lipschitz条件以及P.Chatzipantelidis等人在[21,22,23]中所证明的有限体积元格式(FVEM)与有限元格式(FEM)之间的区别,并加以简单估计即可得到算子的有界性.两重网格是关于非线性方程的一种离散技巧,它有两重不同的网格.其主要思想为在粗网格上得到一个对于真解的大致逼近,然后用这个大致的逼近作为细网格上的初始假设.这种方法包含两步：第一步在粗网格上求解非线性方程；第二步在细网格上将非线性方程转化为线性方程进行求解.　　在证明有限体积元的收敛性时,可以参考有限元方法的证明,如V. Thom′ee在其书[37]《Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems》所述,构造椭圆算子Rh,令wnh=Rhun,将误差分成两部分,其中一部分由椭圆算子的性质可以得到其估计,只有另一部分还需估计.而两重网格的收敛性估计可以参考陈传军所作的论文[5,6]中所证,将右端项在粗网格解处Taylor展开.借助于上述有限体积元的分析结果即可得到两重网格的结果.　　在做数值算例时,对比了V.Thom′ee，P.Chatzipantelidis以及在求解非线性方程组中广泛应用的Broyden拟Newton迭代法,发现V. Thom′ee提出的方法更适用于求解此类非线性抛物方程.在得到两重网格的数值结果后,发现其工作时间更短,从而更加有效.在本文中我们证明了有限体积元解L2-模和H1-模的最优阶估计,以及两重网格H1-模的最优阶收敛性.该收敛性表明粗网格的尺寸可以比细网格的粗得很.但是当网格的尺寸满足h=O(H2)时,我们可以得到最优的渐近逼近解.给出数值算例验证了理论结果.　　(2)在本文中,我们也研究了抛物方程有限体积元的残量型后验误差估计,　　此处公式省略！　　对空间?做正则三角形剖分Th[33],初始剖分Th的重心型对偶剖分Th?.试探函数空间Uh取为相应于三角剖分Th的分片线性空间.检验函数空间Vh取为相应于对偶剖分Th?的分片常数空间.在此基础上构造了上述抛物方程的全离散向后Euler有限体积元格式.　　建立了残量型后验误差估计子ηn：　　此处公式省略！　　并证明了其依赖性、有效性的上下界.在证明其上界时,参考陈志明等人的文章[48]的做法,通过运用Scott-Zhang插值函数的性质以及迹定理可得其后验误差估计中上界的证明.在证明其下界的过程中,借助于bubble-函数的性质,参考毕春加的论文[3],利用三角不等式,可得其下界.在数值算例中,可以发现所构造的误差估计子可以用来预测真实误差的大小.在实际计算中,残量型后验误差估计子可被用来评估有限体积元方法的精度.