本文以椭圆型偏微分方程的离散格式及其高效解法为研究对象，主要讨论以下几个方面的内容：首先，基于最近提出的P₁非协调四边形有限元，构造了一种新的四边形有限体积离散格式用以求解两阶椭圆边值问题。在网格剖分不满足近似平行四边形条件，即当网格尺度h趋向于零时，所有四边形单元K的两条对角线中点的距离d_K不要求是O（h²）阶小量的情况下，证明了该格式在离散H¹范数和L²范数意义下具有最优的收敛阶。其次，改进了两阶椭圆问题的Cell边界元方法在三角形网格剖分情况下收敛性的理论分析结果，证明了该方法在H¹范数意义下具有最优的收敛阶。再次，对非协调局部并行两重网格算法进行了研究，给出了一种网格转移算子的构造方法，并证明了当采用P₁非协调三角形有限元和P₁非协调三角形有限体离散格式时，该算法得到的数值解与真解之间的能量模范数误差是最优的；此外，将单位分解技巧与两重网格算法相结合，提出了一种带单位分解技巧的局部并行两重网格算法，理论分析和数值试验均表明该算法能有效地将收敛精度提高O(h^1／2)阶。最后，分别讨论了两阶椭圆问题的P₁非协调四边形有限元和P₁非协调四边形有限体积方法离散所得代数方程组的瀑布型多重网格解法，提出了一种新的网格加细方案以及相应的网格转移算子，并证明了在使用共轭梯度、Jacobi、Gauss-Seidel等迭代方法作为光滑算子时，该方法可以在能量模范数意义下达到最优的收敛精度，并具有最优的计算复杂度。