本论文研究振荡哈密尔顿系统的保结构算法。　　众所周知，哈密尔顿系统是一类重要的动力系统。一切真实的、耗散可以忽略不计的物理过程都可以表示成哈密尔顿系统。它的应用范围极其广泛，包括结构生物学、药理学、半导体、超导、等离子体、天体力学、材料学等，其中前5个方面应用已列为美国研究计划重点“Grand Challenges”。20世纪量子力学创始人之一的Schr(o)dinger曾经说过:“哈密尔顿原理已经成为现代物理的基石…。如果您要用现代理论解决任何物理问题，首先得把它表示为哈密尔顿形式”。因此，研究哈密尔顿系统的保结构算法具有重要的意义。　　哈密尔顿系统有两个重要特性:守恒律与辛结构。传统的数值方法尽可能降低方法的近似所带来的计算误差，然而并不能保持系统的某些重要结构，只适用于短时间积分。因此设计长期保持系统内在物理性质（如能量守恒，动量守恒等）或几何性质（如辛或多辛结构，对称性等）的算法就成为一种迫切需要。近年来，人们对求解哈密尔顿常微分系统的辛积分方法进行了深入研究。理论与实践证明，辛方法在保持哈密尔顿系统解的定性性质方面要比非辛方法优越得多，这种优势在长时间积分中尤为明显。同时，作为哈密尔顿常微分方程的自然推广，哈密尔顿偏微分方程在时间和空间上都定义了辛结构，称之为多辛结构。如何稳健有效地求解哈密尔顿偏微分方程是当今偏微分方程数值解中具有挑战性的课题之一。与求解哈密尔顿常微分方程一样，希望设计能够保持偏微分方程多辛结构的算法，称之为多辛算法。有关辛几何（单辛和多辛）算法的研究是极其丰富而且具有生命力的。此外，在某些重要领域，哈密尔顿系统另一个重要的性质-能量守恒性尤为重要。目前，越来越多的科研工作者正在致力于寻求高效的保持哈密尔顿系统原始能量的数值算法。　　另一方面，在纯数学与应用数学、物理学、天文学、分子生物学、经典和量子力学、电子工程等应用科学领域广泛存在着一类二阶振荡系统{y"(t)+My(t)=f(t，y(t)), t∈[t0, tend]，(1)y(t0)=y0，y(t0)=y0，其中M是隐含该系统振荡频率的d×d维半正定矩阵，f:R×Rd→Rd是充分光滑的。由于线性项My的出现，使得该系统具有显著的结构特征，并且由矩阵M的半正定性导致该系统的解是一个多频高维非线性振子。此外，当矩阵M对称半正定且右端函数f(y(t))=-▽yU(y(t))时，系统(1)就是一个哈密尔顿常微分方程。然而传统的数值算法如Runge-Kutta类方法和线性多步法等都没有考虑到系统本身的振荡结构，因此将这些算法应用于求解系统(1)时，结果往往不能令人满意。即便是一些已有的几何积分法，如辛算法或对称方法，仍然不能有效地求解这类振荡问题。因此近年来针对有效求解振荡问题算法的研究受到越来越多的关注。　　基于以上陈述，本论文研究求解振荡系统的有效算法并结合哈密尔顿系统的保结构算法，内容安排如下:　　第1章简要介绍了二阶振荡系统的有关内容以及哈密尔顿系统基本性质、辛与多辛算法和保能量算法。　　第2章针对形如y"(t）+M(t，y(t))y(t)=f(t，y(t))，y(t0)=y0，y(t0）=y0的多频非线性二阶振荡系统构造了有效的数值积分法。对于这类系统，常数变易公式已经不再适用。虽然针对一阶微分方程初值问题y(t）=M(t，y(t))，y(t0)=y0，Magnus级数方法是一个数值逼近的途径，但该级数是一个含有大量交换子的无穷级数且用于求解二阶方程时会造成维数翻倍从而带来大量的计算复杂性，难以构造高效算法。因此首先需要考虑研究系统精确解所满足的振荡性质，然后构造等价系统来设计和分析适应特殊结构的数值算法。　　针对扰动振子，目前的有效手段是改进了更新级的adapted Runge-Kutta-Nystr(o)m(ARKN)格式以及同时改进了内级和更新级的extended Runge-Kutta-Nystr(o)m(ERKN)格式。第3章中我们分别讨论了一维ARKN和ERKN方法的辛条件以及对称条件。讨论了辛ARKN格式的存在性并得出了不存在对称的ARKN格式的重要结论。而且文中还构造了同时保持辛结构和对称结构的辛对称ERKN方法。　　第4章针对具有Neumann边界条件的非线性哈密尔顿波方程构造了有效的四阶算法。首先，空间方向充分利用方程的特点以及边界条件进行四阶有限差分半离散，得到一个关于时间的二阶振荡常微分系统，并分析了半离散系统的能量守恒性。该空间离散方法不仅在内部点上能够达到四阶，同时在边界处也能达到四阶精度。其次，利用四阶ERKN方法求解得到的二阶振荡常微分系统。　　第5章研究了求解哈密尔顿波方程的多辛格式。证明了分别在时间和空间上应用两个辛ERKN格式进行离散，或者一个方向用辛ERKN离散而另一个方向用辛分块Runge-Kutta离散，都可以得到多辛积分。据此，基于二阶辛ERKN格式和辛St(o)rmer-Verlet格式构造了两类多辛格式。同时，得到的这两种格式的原型方法都是经典蛙跳格式。而新的多辛格式的优越性源于充分考虑了波方程的振荡特性。　　第6章针对哈密尔顿波方程提出了一种保能量格式，首先利用有限元半离散得到守恒常微分哈密尔顿系统，然后结合具有对称性的平均向量场方法得到能够高精度保持原系统能量的全离散格式。　　由于求解二阶振荡微分方程的高维ERKN以及高维ARKN方法本身都依赖于矩阵值函数φ0(V):=∞∑k=0(-1)kVk/(2k)!和φ1(V):=∞∑k=0(-1)kVk/2k+1)!的计算，其中V=hM，h为数值格式采用的步长。而这些矩阵值函数的高效计算本身就是计算数学中一个非常困难的问题，有限项的截断显然不能高效地满足计算精度要求。因此，第7章分析和构造了一种高效率的算法使得对两个函数的计算能够达到或者接近机器精度。　　论文的创新点主要有以下几个方面:　　对于文中研究的各类振荡系统，本文所建立的几何积分方法都基于振荡系统(1)的精确解所满足的常数变易公式，方法充分利用了由线性项My(t)带来的结构特征，使得算法很好地保持了微分系统的振荡结构。　　探讨了求解振荡哈密尔顿常微分方程的ARKN和ERKN方法的辛性条件以及对称性条件，分析了相应方法的存在性。进一步，将辛ERKN格式应用到哈密尔顿偏微分系统，构造了针对振荡结构的多辛算法。　　将有限元方法与处理哈密尔顿常微分系统的平均向量场方法相结合，构造了针对哈密尔顿波方程的保能量算法。　　对于高维多频振荡系统，不同于已有文献的处理方法如Gautschi型方法计算中需要依赖于矩阵M的分解，本文所采用的高维ARKN和ERKN方法的计算过程中都直接使用矩阵M，使得数值计算更为高效。同时，对于φ0(V)和φ1(V)这两个矩阵值函数，不再采用级数截断而是构造了能够达到或接近机器精度的算法。