力学和金融学中存在许多非线性方程,获得这些方程的解析近似解具有重要的理论意义和实际应用价值。本文应用同伦分析方法成功求解了以下四类问题:(1)任意水深的极限斯托克斯波问题;(2)任意大均布外载荷作用下的大挠度圆薄板问题;(3)大挠度后屈曲梁问题;(4)6种不同类型的倒向型/正倒向型随机微分方程。具体内容和结果如下所示:(I)在流体力学中,人们普遍认为斯托克斯波浪理论仅适用于无限/有限水深。对于浅水情况,人们则常采用椭圆余弦波理论和孤立波理论。本文应用同伦分析方法对斯托克斯波的极限形式进行求解,成功克服摄动方法在浅水中的局限性(高阶傅里叶系数无法收敛),给出了任意水深的极限斯托克斯波之高精度解,论证了斯托克斯波理论对于任意水深的有效性。这说明,无限/有限水深波理论,椭圆余弦波理论和孤立波理论实际上均可被统一到有限水深波(斯托克斯波)理论中。此外,本文求出深水中波浪的极限波陡的精确值为Hmax/λ=0.14108,并首次给出极浅水深中波峰含有120?尖角的波面,证明了同伦分析方法对于强非线性问题的有效性。(II)求解均布外载荷作用下的大挠度圆薄板方程是板壳理论中的经典问题。许多知名学者都对该问题进行过研究,并提出了众多解析和数值方法。其中,又以采用中心挠度为摄动变量的摄动小参数法和内插迭代法最为著名。本文应用同伦分析方法,成功获得了任意大均布外载荷作用下的大挠度圆薄板方程之高精度解,并发现三种传统方法(摄动小参数法,修正迭代法和内插迭代法)实际上均为同伦分析方法的特例。值得注意的是,摄动小参数法和修正迭代法均只对小载荷情形有效,而内插迭代法对任意大均布外载荷均能给出收敛的结果。在同伦分析方法的框架中,本文发现对任意大均布外载荷,摄动小参数法的广义形式和修正迭代法的广义形式均能给出收敛的结果,且同伦分析方法的计算效率远高于内插迭代法。这清晰地凸显出同伦分析方法的优越性和有效性。(III)求解大挠度后屈曲梁方程是固体力学中的经典问题。高扬曾提出一个同时受轴向外压力和横向均布载荷作用的后屈曲梁模型,并指出:“该梁模型是个多解敏感问题,目前仅有三对偶方法能求出所有的解。”于是本文应用同伦分析方法对该方程进行求解,发现同伦分析方法仅需在初始解中引入一个待定参数,即可轻易求出该问题所有的解析近似解,且结果与三对偶方法给出的数值解相吻合。这论证了同伦分析方法对于多解敏感问题的有效性。(IV)求解倒向型/正倒向型随机微分方程是金融数学中的热点问题。然而,目前仅有少数几种数值方法可以有效求解低维的正倒向型随机微分方程。对于高维的正倒向型随机微分方程,研究几乎处于空白状态。本文应用同伦分析方法,成功求解了六种不同类型的倒向型/正倒向型随机微分方程。作者发现,对于其中一个高维线性的正倒向型随机微分方程,同伦分析方法可以很快给出12维情况下的解析近似解;在6维情况下,在达到相同计算精度的前提下,同伦分析方法的计算效率比最新报道的数值方法高3000余倍。这些均揭示了应用同伦分析方法求解倒向型/正倒向型随机微分方程的巨大潜力。