【摘 要】
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在黎曼几何中,调和映射是能量泛函的临界映射;它与全纯映射、极小子流形等都有密切的联系,是几何学里重要的研究对象之一.梯度估计是椭圆方程和抛物方程的重要工具之一,在消灭定理、有限型定理、热核估计等方面都有重要应用.次黎曼几何是黎曼几何的推广;特别地,满足括号生成条件的黎曼叶状结构是次黎曼流形.次椭圆调和映射是从次黎曼流形到黎曼流形的水平能量泛函的临界映射.本文将在目标流形是Cartan-Hadama
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在黎曼几何中,调和映射是能量泛函的临界映射;它与全纯映射、极小子流形等都有密切的联系,是几何学里重要的研究对象之一.梯度估计是椭圆方程和抛物方程的重要工具之一,在消灭定理、有限型定理、热核估计等方面都有重要应用.次黎曼几何是黎曼几何的推广;特别地,满足括号生成条件的黎曼叶状结构是次黎曼流形.次椭圆调和映射是从次黎曼流形到黎曼流形的水平能量泛函的临界映射.本文将在目标流形是Cartan-Hadamard流形以及正则球两种情形中,探讨次椭圆调和映射的梯度估计以及Liouville 定理.本文具体分为以下章节:第一章将简要介绍研究背景和意义,并列出主要结果.第二章将简要回顾次黎曼流形、黎曼叶状结构以及次椭圆调和映射的基本概念和性质.我们将推导广义Bott联络的性质,计算该联络在黎曼叶状结构上的挠率和曲率,并给出sub-Laplace算子在局部标架下的表示和极大值原理.第三章将计算从次黎曼流形到黎曼流形光滑映射的二阶和三阶共变导数的交换关系,并推导Bochner公式.当底流形是全测地黎曼叶状结构时,我们给出适当曲率和挠率条件下水平能量密度和垂直能量密度的sub-Laplace估计.为构建次椭圆调和映射的梯度估计,本章引入了一种带权能量密度,并给出sub-Laplace的估计.第四章将在目标流形是Cartan-Hadamard流形时推导次椭圆调和映射的梯度估计.利用第三章中引入的带权能量密度作为辅助函数,证明了在广义Bott联络的水平Ricci曲率和挠率条件下次椭圆调和映射的梯度估计,并得到相应的Liouville定理.第五章将在目标流形是正则球时推导次椭圆调和映射的梯度估计.本章所用的方法和第四章类似,但应用了一个和正则球相关的辅助函数.
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