【摘 要】
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极大距离可分码（maximum distance separable codes,简称MDS码）在量子力学,分布式存储系统,纠错码,拟阵表示,门限共享体制等方面具有一定的理论意义和实用价值,从而在编码理论中占有重要地位.广义里德-所罗门码（generalized Reed-Solomon codes,简称GRS码）是一类著名的MDS码,同时也是一类重要的纠错码.在GRS码中增添一个分量（即一个无限
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极大距离可分码（maximum distance separable codes,简称MDS码）在量子力学,分布式存储系统,纠错码,拟阵表示,门限共享体制等方面具有一定的理论意义和实用价值,从而在编码理论中占有重要地位.广义里德-所罗门码（generalized Reed-Solomon codes,简称GRS码）是一类著名的MDS码,同时也是一类重要的纠错码.在GRS码中增添一个分量（即一个无限元）,就得到了扩展的广义里德-所罗门码（extended generalized Reed-Solomon codes,简称 EGRS 码）.自对偶码是一类被广泛研究的线性码,这类码具有很好的代数结构,并且与多项式和格有关.一些著名的线性码被证实是自对偶码.如果一个线性码与其对偶码的交是平凡的,则称该线性码具有互补的对偶码（或称该线性码为LCD码）.渐近好的LCD码已被证明是存在的.LCD码能够为双用户二进制加法器通道提供一套最优的线性编码解决方案.因此,研究自对偶码,MDS码,LCD码之间的交集是一个有趣的研究课题.本文主要研究有限域上的MDS自对偶码和LCD MDS码.首先,本文借助（扩展的）GRS码来研究MDS欧氏自对偶码的存在条件和构造方法.其次,利用h-伽罗瓦内积（欧氏内积和厄尔米特内积的推广）来研究h-伽罗瓦LCD MDS码.本文主要结果如下:在第三章,本文首先给出一些用于证明后续定理的引理,然后利用（扩展的）GRS码在特征为奇数的有限域上构造了几类具有新的参数的MDS欧氏自对偶码.具体来说,通过选取Fq的合适的子集,本文在特定条件下构造了长度分别为n=tm,n=tm+1,n=tm+2,和n=p2e+1的q-元MDS欧氏自对偶码,这里q是一个平方数.另外,本文还构造了一些长度为n=2tpe,n=trz+1,n=（t+1）rz,和n=pe+1的q-元MDS欧氏自对偶码,其中q是素数的幂,p为奇素数.在第四章,本文利用h-伽罗瓦内积来研究h-伽罗瓦LCD MDS码.首先分别研究了 GRS码的h-伽罗瓦对偶码和EGRS码的h-伽罗瓦对偶码的结构,然后给出了一种通过（扩展的）GRS码来构造h-伽罗瓦LCD MDS码的方法（参看引理4.5和4.7）.此外,利用长度为n=rl,n=rl+1,n=pl,n=pl+1,n=rh,和n=rh+1的GRS码和EGRS码,本文构造了几类新的h-伽罗瓦LCD MDS码,其中q是素数的幂,p在某些条件下为奇素数.
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