谱元法(spectral element method)结合了谱方法的高精度和有限元法灵活的网格剖分技术，已成为偏微分方程数值求解的重要方法之一。谱元法在同等网格数下的计算量比其他低阶方法大，因此发展谱元法的快速算法有重要意义。本文的主要工作是结合最新的时间空间离散方法、预条件和区域分解方法发展三维Navier-Stokes方程谱元离散的快速算法。本文包含四个部分的内容： 首先，本文对求解Navier-Stokes方程的有关问题进行了讨论，主要涉及速度压力的解耦，即不可压约束的处理问题。我们在谱元框架下对投影方法租Uzaww类算法的优缺点进行了比较。仔细的计算量估计显示Uzaww类算法在求解压力时的计算量至少是投影方法的三倍。在此基础上，本文提出了一种速度压力单一网格方法，即所谓的PN×PN算法。在该方法中，速度和压力使用相同阶数的多项式(或分片多项式)空间进行逼近，在每步压力解出之后，再对其进行PN空间到PN-2空间的过滤，以保证计算的稳定性。 其次，针对PN×PN离散得到的椭圆型系统，本文提出了求解它们的两类快速算法。一类算法是基于Schur Complement(SC)方法的快速迭代解法。在使用迭代解法求解SC系统时，本文给出了一种计算矩阵向量积的新策略。通过与传统方法的计算量比较发现，新策略在非定常问题计算中具有很大的优势，特别是在二维情形下。另外一类算法是基于张量积的快速对角化方法：当区域是矩形时，我们利用快速对角化方法构造问题的直接解；而当区域存在变形时，将快速对角化方法用于直接求解SC系统中的子问题，或构造子问题的预条件矩阵。 第三部分内容涉及上述方法在三维湍流模拟中的应用。在湍流模拟中，我们还引入了一种新的大涡模拟方法：谱粘性消去法。与其它大涡模拟方法相比，这种方法只要求对标准的谱元法进行微小的修改，而且几乎不增加计算量。本文使用谱元法结合谱粘性消去法对雷诺数12000时的三维驱动方腔流进行了大涡模拟，并给出了初步的数值结果及其统计分析。利用我们发展的上述高效算法，整个模拟得以在普通微机上完成。 最后一部分工作是考察声波传播问题，提出了一个基于空间谱元离散，时间上采用经典Newmark格式的逼近方法。本文分析了该方法的稳定性和收敛性，得到了最优的结果。我们特别强调了非齐次边界问题，显式地给出了非齐次边界对稳定性和收敛性的影响。数值实验验证了理论分析结果。作为对比，我们还给出了有限元方法的数值结果。