均质积分被Minkowski提出,是凸体理论和积分几何中非常重要的概念和工具.Kubota、Cauchy、Steiner和很多的前辈对均质积分别给出了一系列的公式和定理.均质积分描述了凸体K和和它的正交投影K′n-r之间的关系.凸体的外平行凸体是积分几何中的重要概念之一.在本文中,我们给出了关于凸体的正交投影的外平行凸体的几个性质.这几个性质分别给出了（n-r）维空间Ln-r[O]中的（n-r）维凸体K′n-r的均质积分W′i(K′n-r)和K′n-r的外平行凸体(K′n-r)ρ的表面积F((K′n-r)ρ)、体积V((K′n-r)ρ)、边界（?）((K′n-r)ρ)的平均曲率积分Mi(（?）((K′n-r)ρ))与n维空间中的n维凸体K的均质积分之间关系.本文的第一部分内容是关于几个三角恒等式的,这些恒等式是在证明和推广微分几何中经典的Euler公式时得到的.它们将应用于微分几何和积分几何中.但是作为三角恒等式,这些公式适合于更一般的情形.定理1设三个角θ,,θi,θj满足:θ=±（θi-θj）,或θ=θi+θj,或θ+θi+θj=2π,则有注1此定理应用于Euler公式的证明中,是在证明Euler公式的过程中得到的一个初等公式.定理2当θ=±（θi-θj）时,我们有当θ=θi+θj或θ+θi+θj=2π时,有注2作为这些三角恒等式的特殊应用,Chen Zhao和Zhou给出了Euler公式和它关于的类推的简单证明（看参考文献[2]）.本文的第二部分是关于外平行凸体的Minkowski均质积分的,Kubota,Cauchy,Steiner等人给出了一系列的公式和定理.目前,武汉大学的李泽芳关于这部分作了很多工作,她的工作是把K′n-r的外平行凸体限制在Ln-r[O]平面上所作.下面是她最新的结论:结论1设K为n维欧式空间En中的凸体,Kρ是K的距离为ρ的外平行凸体,（Kρ）′n-r是Kρ在（n-r）维平面Ln-r[O]上所作的外平行凸体(即（Kρ）′n-r是Kρ在（n-r）维平面Ln-r[O]上的正交投影).Wr+1+j（K）是凸体K在n维欧式空间En中的均质积分,F(（Kρ）′n-r)表示（?）(（Kρ）′n-r)的表面积（即（n-r-1）维体积）,则有结论2设K为n维欧式空间En中的凸体,Kρ是K的距离为ρ的外平行凸体,（Kρ）′n-r是Kρ在（n-r）维平面Ln-r[O]上所作的外平行凸体(即（Kρ）′n-r是Kρ在（n-r）维平面Ln-r[O]上的正交投影).W（r+i）（K）是凸体K在n维欧式空间En中的均质积分,V(（Kρ）′n-r)表示（Kρ）′n-r的（n-r）维体积,则有结论3设K为n维欧式空间En中的凸体,Kρ是K的距离为ρ的外平行凸体,（Kρ）′n-r是Kρ在（n-r）维平面Ln-r[O]上所作的外平行凸体(即（Kρ）′n-r是Kρ在（n-r）维平面Ln-r[O]上的正交投影).Wr+s+1+j（K）是凸体K在n维欧式空间En中的均质积分,Ms(（?）（Kρ）′n-r)表示（?）(（Kρ）′n-r)的第s个平均曲率积分,则有本文的第二部分的主要工作分为两个方面:一方面是把Kubota公式进行了推广,把它从（n-1）维空间Ln-1[O]推广到（n-r）维空间Ln-r[O]中;另一方面的工作是把李泽芳所作K′n-r的外平行凸体限制在Ln-r[O]平面上的这个限制去掉,而是在n维空间En中作的外平行凸体,从（n-r）维空间推广到了n维空间.下面是我们在本文的第二部分外平行凸体的Minkowski均质积分中用到的定义和引理:定义1（凸集、凸体、凸表面）设K是n维欧式空间En中的一个子集,若当A,B∈K时,则连接二点的线段AB也属于K,就称K为En中的凸集.紧致具有非空的内部的凸集称为凸体.凸体K的边界（?）K称为凸表面.注3今后我们仅限于讨论有界凸体.注4以On表示n维单位球面的面积,可以表示为:引理1 n维欧式空间En中过一个定点的非定向的r维平面的总测度(即:Grassmann流形Gr,n-r的体积)为其中Oi是i维单位球面的面积.定义2（Minkowski均质积分）设K为n维欧式空间En中的凸体,O是En中的一个定点.Ln-r[O]表示过点O的任一（n-r）维平面.过K的每点作垂直于Ln-r[O]的r维平面,这些r维平面与Ln-r[O]的交点构成凸体K′n-r.K′n-r叫做K到Ln-r[O]上的正交投影,K′n-r的（n-r）维体积记为V(K′n-r).因为过定点的所有（n-r）维平面Ln-r[O]形成一个Grassmann流形Gn-r,r我们引入下面的积分此式对r=1,…,n-1给出了Ir（K）定义.另外,补充规定:I0（K）=V（K）（K的n维体积）.（7）利用Grassmann流形Gn-r,r的体积公式（5）,我们得到投影K′n-r的体积V(K′n-r)的积分平均值:En中凸体K的Minkowski均质积分Wr（K）定义如下:1.当r=1,…,n-1时,或2.当r=0时,3.当r=n时,定义3（外平行凸体、平行曲面）设K为n维欧式空间En中的凸体,以K中每一点为球心、以常数ρ为半径作闭球体,这些球体的并集称为K的距离为ρ的外平行凸体,记为Kρ.Kρ的边界（?）Kρ称为边界（?）K的距离为ρ的平行曲面.定义4（平均曲率积分）设∑是n维欧式空间En中的一个C~2类的超曲面,k1,k2,…,kn-1分别是∑的（n-1）个主曲率（函数）,∑的第r个平均曲率积分（记为Mr（∑））定义为:其中dσ表示∑的面积元,{ki1,ki2,…,kil}为主曲率的第r阶初等对称函数.另外,补充规定:M0（∑）=F（即∑的面积）.（14）乘积k1k2…kn-1称为曲面的Gauss-Kronecker曲率,它与曲面的球面象的面积元dun-1的联系是:其中dσ为曲面∑的面积元.Ri=1/（ki）（i=1,…,n-1）称为∑的主曲率半径.从而平均曲率积分可以用主曲率半径定义如下:其中{Ri1,Ri2,…,Rin-r-1}为Ri1,Ri2,…,Rin-1的第（n-1）-r阶初等对称函数.引理2（Kubota公式）设K为n维欧式空间En中的凸体,Ln-1[O]表示过点O的任一（n-1）维平面,K′n-1为K在Ln-1[O]上的投影.Wr（K）为n维欧式空间En中的凸体K的均质积分,W′r-1(K′n-1)是（n-1）维空间Ln-1[O]中的凸体K′n-1的均质积分.则有其中（1/2）Un-1表示（n-1）维单位球面的一半,即G1,n-1;Qn-2表示（n-2）维单位球面的面积.引理3（Cauchy公式）设K为n维欧式空间En中的凸体,（?）K为K的凸表面,W1（K）为K的均质积分,F为（?）K的表面积（即（n-1）维体积）,则有F=nW1（K）.（16）引理4（Steiner公式）设K为n维欧式空间En中的凸体,Kρ为K的距离为ρ的外平行凸体,V（Kρ）表示Kρ的体积,Wj（K）表示K的均质积分,则有引理5设K为n维欧式空间En中的凸体,Kρ为K的距离为ρ的外平行凸体,Wi+j（K）为K的均质积分,Wi（Kρ）为Kρ的均质积分,则有引理6设n维欧式空间En中的凸体K的边界（?）K是一个C~2类的超曲面,Kρ为K的距离为ρ的外平行凸体,（?）K为（?）K的距离为ρ的平行曲面.Wr+1（K）为K的均质积分,Mr（（?）K）为（?）K的平均曲率积分,Mi（（?）Kρ）为（?）Kρ的平均曲率积分,则有运用上面的引理,我们可以得到如下定理:定理3设K为n维欧式空间En中的凸体,K′n-r为K到（n-r）维平面Ln-r[O]上的正交投影.Wi+r（K）表示K在n维欧式空间En中的均质积分,W′i(K′n-r)为（n-r）维空间Ln-r[O]中的凸体K′n-r的均质积分,则有其中Oi是i维单位球面的面积,Gr,n-r表示Grassmann流形.注5当r=1时,定理3就是Kubota公式.定理4设K为n维欧式空间En中的凸体,K′n-r为K到（n-r）维平面Ln-r[O]上的正交投影,(K′n-r)ρ为K′n-r在n维欧式空间En中的距离为ρ的外平行凸体.Wj+1+r（K）表示凸体K在n维欧式空间En中的均质积分,F((K′n-r)ρ)为（?）((K′n-r)ρ)的表面积（即（n-1）维体积）,则有其中Oi是i维单位球面的面积,Gr,n-r表示Grassmann流形.定理5设K为n维欧式空间En中的凸体,K′n-r为K到（n-r）维平面Ln-r[O]上的正交投影,(K′n-r)ρ为K′n-r在n维欧式空间En中的距离为ρ的外平行凸体.Wj+r（K）表示凸体K在n维欧式空间En中的均质积分,V((K′n-r)ρ)表示(K′n-r)ρ的n维体积,则有其中Oi是i维单位球面的面积,Gr,n-r表示Grassmann流形.定理6设K为n维欧式空间En中的凸体,K′n-r为K到（n-r）维平面Ln-r[O]上的正交投影,(K′n-r)ρ为K′n-r在n维欧式空间En中的距离为ρ的外平行凸体,（?）((K′n-r)ρ)为（?）(K′n-r)的距离为ρ的平行曲面,且（?）((K′n-r)ρ)为C~2类的超曲面.Wi+j+1+r（K）表示凸体K在n维欧式空间En中的均质积分,Mi(（?）((K′n-r)ρ))表示（?）((k′n-r)ρ)的平均曲率积分,则有其中Oi是i维单位球面的面积,Gr,n-r表示Grassmann流形.