图的支撑树特征问题一直是结论图论研究中的一个重要课题。该问题的产生与发展都与结构图论中的经典问题一一哈密尔顿问题有着密切联系。众所周知图G中含哈密尔顿路当且仅当G中含至多两个叶子点的支撑树。一个自然的问题是:对于任意的整数k ≥ 2,在何条件下G中存在至多k个叶子点的支撑树?目前国内外对满足一定条件的支撑树存在性问题的研究主要是从参数的角度,如坚韧度、独立数、连通度、度和等方面进行刻画,或者限制在某些特殊的图类中。本文主要研究了禁用子图中的支撑树问题,给出了满足一定条件的支撑树存在的充分条件。全文共分为五章,主要内容如下:在第一章,我们给出文中出现的一些基本概念和符号,介绍了本文的研究背景、研究意义以及国内外在这方面的研究情况。通过对本文研究背景及研究现状的讨论,说明了本文主要研究工作的必要性和创新性。在第二章,我们研究了 K1,5-free图中存在至多5个叶子点的支撑树的充分条件。Kyaw在文献[30]中给出了在连通K1,4-free图中存在至多k个叶子点的支撑树的充分条件,结论如下:设G是连通K1,4-free图,则下述结论成立:（1）如果σ3（G）≥|G|,则G有一条哈密尔顿路.（2）如果σk+1（G）≥|G|—k/2,其中k是整数且满足k≥3,则G存在一个至多k个叶子点的支撑树.一个自然的问题是:对于一个不小于4的正整数k,是否存在一个非负函数f（k）使得所有满足σk+1（G）≥ n-f（k）的n阶K1,5-free连通图都含至多k个叶子点的支撑树?Chen等人在文献[12]中研究了情形k=4,证明了f（4）存在且其最大值为1.在本章,我们研究了情形k=5,证明了下述定理:任何满足σ6（G）≥n-1的n阶K1,5-free连通图G都含至多5个叶子点的支撑树,并且下界n-1是最好可能的。因此f（5）存在并且其最大值亦为1,相关结果在“Bulletin of the Malaysian Mathematical Science Society”上发表。在第三章,我们研究了 K1,5-free图中存在至多6个叶子点的支撑树的充分条件,即情形k=6,证明了下述定理:任何满足σ7（G）≥n-2的n阶K1,5-free连通图G都含至多6个叶子点的支撑树,并且下界n—2是最好可能的。因此f（6）存在并且其最大值为2,相关结果在“Mathematical Problems in Engineering”上发表。在第四章,我们对上述问题的一般情形进行了探讨。通过引进悬挂独立集、核、外蜘蛛等概念对该问题的极小反例的结构特征进行刻画,证明了所有满足σk+1（G）>|G|-[k32]的K1,5-free连通图G都含至多k个叶子点的支撑树,其中k为任意不小于4的正整数。该结论的度和下界同样是最好可能的,因此对所有的k≥ 4,f（k）存在并且其最大值是[k-2/3].在第五章,我们提出了可以进一步研究和讨论的问题。