Blaschke乘积的零点序列性质

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Blaschke乘积作为重要的内函数,它的性质与零点的分布密切相关,零点的分布与Blaschke乘积的收敛性,连通性,插值性以及单分支性等等都有密切的关系.常伟与侯秉喆的文献“单位圆盘与上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类”中给出了上半平面的拓扑共轭分类,本文对应地考察其对应的Mobius变换,经过n,n∈N次迭代后的所有零点是否可以构成无穷Blaschke乘积.由于上半平面与单位圆盘是全纯共轭的,我们可以利用“单位圆盘与上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类”中的分类进行讨论,将上半平面的全纯自映射gi(z)分别对应单位圆盘中双曲型的,抛物型的和椭圆型的解析自同构,即通过全纯共轭h(z)将gin映为单位圆盘上的全纯自映射(?),i=1,2,3,其中gin(z)表示gi(z)的n次复合映射.之后用φin(z)复合任意的单位圆盘自映射A(z)以及A-1(z)得到一般的单位圆盘自映射(?)(?),其中A(z)∈D,这样就可以求得与ψin(z)对应的零点序列{an}.此时除去椭圆型的经过迭代得到的零点序列{an}n=1∞不趋于边界以外均可以收敛到圆周上一点,最后可以得到除去椭圆型的经过迭代得到的零点序列不能构成Blaschke乘积之外,另外两种情况即双曲型的和抛物型的经过迭代得到的零点序列均可以构成插值Blaschke乘积,并且是单分支的插值Blaschke乘积.在“One-component inner functions”一文中也考虑过类似的问题,但是没有考虑一般形式的抛物型的情况,我们在这里通过详细计算给出一般抛物型的证明,同时双曲型我们也通过新方法重新给出证明.本文主要包含以下几项内容:(一).我们对研究问题的背景也即Hp空间,内函数,Blashcke乘积等进行了介绍.(二).我们给出了单分支内函数以及插值内函数的相关定理并介绍了一个不绝对收敛的Blaschke乘积的例子.(三).我们详细证明了双曲型和抛物型解析自同构迭代的零点生成的Blaschke乘积具有插值性和单分支性.
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