本文主要从对称性质、守恒律、精确解及微分不等式四个方面对微分方程及其解的性质进行探究。文章主要分为三大部分来阐述:第一部分根据Lie对称分析方法对时间分数阶Sawada-Kotera微分方程的对称性质和守恒律进行探究。首先给定一个单参数Lie变换群并作用于Sawada-Kotera方程,我们得到方程的对称、相似变量及相似变换。结合相似变量、相似变换,分数阶Sawada-Kotera偏微分方程约化为一个分数阶常微分方程。进一步地,我们将Sawada-Kotera方程转化为守恒向量的分量的形式,根据Ibragimov定理,得到方程的守恒律。第二部分主要利用一个新的求精确解的方法对Sawada-Kotera方程和对称正则长波方程的精确解进行探究,根据Jumarie修正的Riemann-Liouville的导数定义及相关性质,我们利用方程的行波解,分数阶偏微分方程约化为整数阶常微分方程,通过平衡常微分方程的最高阶导数项和非线性项,我们得到一个N,M的关系表达式,假定N,M的值,得到了精确解准确的表达式,根据Qξ的形式,从而可以一些新的形式的精确解:三角函数形式的解和Weierstrass椭圆函数形式的解。微分不等式也是一种对微分方程及其解的性质进行探索的有效途径,因此在本文的最后一个主要部分我们研究的是一个微分不等式,并将其应用到Camassa-Holm浅水波方程的研究中,给出Camassa-Holm方程解爆破的初始条件、得到解的爆破速率以及爆破时间的估计。