令G=(V(G),E(G))是一个简单无向有限图,其中V(G)是G的顶点集,E(G)是G的边集。在2006年,Chartrand等人引进了一种关于彩虹边着色的新概念。其定义如下：G的一个k边着色是一个映射c:E(G)→C,其中C是k种不同颜色的集合。令G是一个边着色图。如果G中一条路的每条边都着有不同的颜色,我们称这条路为G的彩虹路。如果G的任意两个顶点间都存在一条彩虹路连通它们,我们称G为彩虹连通。如果一个边着色使G彩虹连通,那么我们称该着色为彩虹着色。我们把G的彩虹着色所需的最小颜色数称为G的彩虹连通数,记为rc(G)。从彩虹连通的定义,我们能看到一个彩虹连通图的两条相邻的边可以着相同的颜色。以上的着色定义在一个图的边集上,自然地,我们可以把以上的着色推广到图G的顶点集上。在2008年,Krivelevich和Yuster引进了彩虹点着色的概念,类似地给出了点彩虹着色、点彩虹路、点彩虹连通,点彩虹连通数rvc(G)的定义。根据rc(G)和rvc(G)的定义,Chartrand等人计算出了一些特殊图类的彩虹连通数。然而,对于一般图来说,计算它们的彩虹连通数是一件非常困难的事情。Chakraborty等人证明：对于一个给定的图G,确定rc(G)是否等于2是NP-完全的。特别地,他们证明：计算rc(G)是NP-困难的。于是他们解决了Caro等人提出来的猜想。因此,研究一个图的彩虹连通数的上界成为人们感兴趣的问题。本文分为六章。在第一章中,我们介绍了本文所需要的概念,本文的研究背景和主要结果。在第二章中,我们研究了彩虹连通数关于最小度和的上界.Krivelevich和Yuster证明：假如G是一个δ(G)≥3且阶为n的连通图,那么且后来,Chandran等人改进了Krivelevich和Yuster的方法,得到了一个更好的结果。他们证明了假如G是一个δ(G)≥3且阶为n的连通图,那么rc(G)≤3n/(δ(G)+1)+3。我们考虑了彩虹连通数与最小度和的关系,推广了Chandran等人的结果。我们证明了如果G是一个阶为n且有k个独立顶点的连通图,那么另外,我们证明了如果G是一个阶为n且有k个独立顶点的连通图,假如σk(G)≤7k或σk(G)≥8k,那么假如7k<σk(G)<8k,那么我们举了一个例子,在这个例子中,我们的界是常数,而Krivelevich和Yuster的界、Chandran等人的界都是n的线性函数。在证明中我们应用了算法、Locasz局部引理以及概率的方法。在第三章中,我们讨论了彩虹连通数与桥和半径的问题。Basavaraju等人考虑了无桥图的彩虹连通数和半径的关系。他们证明了假如G是一个半径为r的无桥图,那么rc(G)≤r(r+2).我们考虑了任意连通图的彩虹连通数与桥和半径的关系,证明了如果G是一个半径为r且中心点为u的连通图,令Dr={u},那么G有r-1个连通控制集Dr-1,Dr-2,…,D1满足Dr(?)Dr-1(?)Dr-2…(?)D1(?) Do=V(G)且有rc(G)≤∑ri=1max{2i+1,bi},其中对于每一个i∈[1,r]满足bi等于E[Di,N(Di)]中的桥数,并且G的桥数等于∑i~r=1bi。注意到假如对于所有的i∈[1,r]都满足bi≤2i+1,那么rc(G)≤∑ri=1(2i+1)=,(r+2);而假如对于所有的i∈[1,r]都满足bi>2i+1,那么rc(G)=∑ri=1bi。因此我们的结果本质上推广了Basavaraju等人的结果。在第四章中,我们解决了Chakraborty等人提出的问题。Chakraborty等人提出：“我们能否用o(n)种颜色在多项式时间内对一个rc(G)=2的图进行彩虹着色?”为了解决这个问题,我们证明了两个结果。第一个结果是：我们能用至多5种颜色在多项式时间内对一个直径为2的无桥图进行彩虹着色。第二个结果是：我们能用至多4种颜色在多项式时间内对一个rc(G)=2的有桥图进行彩虹着色。因此我们能推出用至多5种颜色可以在多项式时间内对一个rc(G)=2的图进行彩虹着色。在第五章中,我们讨论了稠密图的彩虹连通数并得到了几个概括性的结果。在第六章中,我们研究了彩虹连通数与独立数的关系,证明了假如G是一个连通图,那么rc(G)≤2a(G)一1.我们举例子说明了存在图G满足G的直径等于2a(G)-1。即我们的结果达到了最好。然而,Chandran等人的界3n/(δ(G)+1)+3和[n÷2]都是n的线性函数,Schiermeyer的界也是n的线性函数,并且Basavaraju等人的界,r(r+2)是r平方级的,其远离G的直径。