收敛性和稳定性一直是数值分析的两个重要课题。在什么条件下数值方法是收敛的以及方法的计算精度如何是收敛性分析中比较关心的问题。在稳定性分析中,Lyapunov函数法是一个重要手段。然而当找不到合适的Lyapunov函数时,会利用数值解的稳定性来预测精确解的稳定性。另外,在精确解稳定的情况下,数值解能否保持精确解的稳定性也是非常重要的问题。本文针对分段连续型随机微分方程（SDEPCAs）和中立型分段连续型随机微分方程（NSDEPCAs）,研究精确解的性质,构造数值方法,研究其收敛性和稳定性。对于系数满足全局Lipschitz条件和线性增长条件的SDEPCAs及它对应的随机微分方程（SDEs）,研究SDEPCAs,SDEs及它们对应的Euler-Maruyama数值方法p阶矩（p≥2）指数稳定的等价性。该研究的关键在于证明Euler-Maruyama方法的收敛性、SDEPCAs和SDEs精确解以及对应Euler-Maruyama数值解的p阶矩有界性以及任意两个解在p阶矩意义下的误差;最终建立SDEPCAs,SDEs及它们对应的Euler-Maruyama方法p阶矩指数稳定的等价关系。对于系数满足局部Lipschitz条件和Khasminskii型条件的SDEPCAs,构造截断Euler-Maruyama方法,研究该方法的强收敛性和均方指数稳定性。首先,给出该方法的p阶矩（p≥2）有界性,进而得到其（?）阶矩（（?）<p）强收敛性,并得到收敛阶;其次,给出截断Euler-Maruyama方法保持方程指数稳定性的充分条件。当方程系数不满足Khasminskii型条件,而满足广义单边Lipschitz条件时,论文继续研究截断Euler-Maruyama方法的强收敛性。由于[t]是分段连续的,广义单边Lipschitz条件的高次幂项不好处理,因此,本文采用分段考虑的方法。首先给出精确解的p阶矩（p≥2）有界性;其次,利用截断函数的特殊性质,证明截断Euler-Maruyama数值解的p阶矩（p≥2）有界性;最后给出该方法的强收敛性和收敛阶。将SDEPCAs截断Euler-Maruyama方法的结论推广到NSDEPCAs.在局部Lipschitz条件和Khasminskii型条件下,构造对应的截断Euler-Maruyama方法。由于中立项中含有[t],导致该方法在整数时间点处是隐式的。于是,首先分析在整数点处隐式方程的可解性;其次给出精确解和数值解的p阶矩有界性;进而得到该方法在时刻T处和时间区间[0,T]上的收敛性及收敛阶。