【摘 要】
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本文借助非线性泛函分析和临界点理论,研究几类带临界指数增长非线性项的非局部椭圆型问题解的存在性与多解性.首先,考虑下列非齐次Kirchhoff型椭圆问题。其中Ω是R2中的光滑有界区域,m:R+→R+表示Kirchhoff函数,f:Ω×R→R是在无穷远处具有形如eαu2（α>0）临界指数增长的连续函数,ε是正的小参数.h（x）∈（W01,2（Ω））*,h（x）≥0（x）（?）0.运用变分方法和有界区
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本文借助非线性泛函分析和临界点理论,研究几类带临界指数增长非线性项的非局部椭圆型问题解的存在性与多解性.首先,考虑下列非齐次Kirchhoff型椭圆问题。其中Ω是R2中的光滑有界区域,m:R+→R+表示Kirchhoff函数,f:Ω×R→R是在无穷远处具有形如eαu2（α>0）临界指数增长的连续函数,ε是正的小参数.h（x）∈（W01,2（Ω））*,h（x）≥0（x）（?）0.运用变分方法和有界区域上Trudinger-Moser不等式,得到解的存在性与多解性.接着,考虑一类带奇异非线性项的非局部N-Kirchhoff椭圆型方程,其中N≥ 2.0 ≤β<N,‖u‖N=∫RN（|▽u|N+V（x）|u|N）dx,ΔNu=div（1▽u|N-2▽u）是N拉普拉斯算子,m:R+→R+表示Kirchhoff函数,V:RN→R是连续的位势函数,f:RN × R → R为连续函数,且在无穷远处满足临界指数增长条件,h（x）∈（W01,N（RN））*,h（x）≥0且h（x）（?）0,ε>0是小参数.结合变分方法和全空间RN中的奇异型Trudinger-Moser不等式,当ε充分小时,上述方程存在两个非平凡解.随后,讨论下列分数阶椭圆型问题。其中Ω是RN（N ≥ 1）中光滑有界区域,0<s<1,（-Δ）N/ss是分数阶N/s-拉普拉斯算子,定义为.这里Bε（x）（?）RN表示以x为球心,ε>0为半径的球.f（x,u）是Ω×R上的连续函数,在无穷远处具有eα|u|N/N-s＝（α>0）临界指数增长.运用分数阶Trudinger-Moser型不等式与山路定理,我们获得该问题非平凡解的存在性.最后,考虑下列分数阶Kirchhoff型问题解的存在性。其中 Ω是RN（N≥ 1）中的光滑有界区域,‖u‖=（∫∫R2N |u（x）-u（y）|N/s/|x-y|2Ndxdy）s/N,a,b>0,0<s<1,f在无穷远处满足临界指数增长.该问题中的Kirchhoff函数和分数阶拉普拉斯算子两个非局部项增加了数学研究方面的困难.同样使用分数阶Trudinger-Moser型不等式与山路定理,得到相关结果.
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