零和理论是组合数论的一个重要研究分支，它与代数数论，图论，Ramsey理论以及离散几何等领域都有紧密联系。零和理论的主要研究对象是零和序列，也就是在加法有限交换群G中，元素之和为零元的序列。对零和序列研究得最多的是考虑具有特定性质的零和子列存在性的问题，与此相关的，很多零和不变量被提出。其中D(G)，s(G)η(G)是最为核心的零和不变量。这三个不变量的提出决定了零和理论的发展方向，因此也吸引了很多学者的研究兴趣。关于这三个不变量本身至今仍有很多公开的问题有待解决。在过去五十年的研究中，人们发现这三个不变量不仅是零和理论最基本的研究问题，而且在代数数论的分解理论中也有着重要应用价值。　　 在对零和理论中与分解理论相关的问题进行研究的过程中，两个新的不变量s(G)以及s**(G)作为经典不变量s(C)的模拟在本论文中被提出。事实上，关于不变量η(G)的模拟η*(G)就在不久之前在论文[30]中被提出并被研究。本论文的主要内容是对这两个新的不变量进行研究。与不变量D(G)相关的研究也是本文的重要研究课题。众所周知，D(G)的值的确定毋庸置疑是最为重要的零和问题，然而关于给定性质的子序列的计数问题也吸引着大量的研究者的兴趣。因此本文选择对具有任意给定和的子序列的计数问题进行了研究。子集和理论是组合数论的另一重要领域，而有限群G的堆垒基不变量cr(G)则是子集和理论的中心问题。该不变量曾被P．Erdos，H.B. Mann等众多学者深入研究（参见[12]，[l3]，[19]，[3l]，[37]）。过去近五十年在对堆垒基不变量的研究中，人们发现这个不变量cr(G)在子集和理论与零和理论中有着重要的应用价值。经过众多学者的努力，这个不变量的值在所有有限交换群中均得到完全确定。然而，该不变量相应的逆问题，也即是确定非完备集的结构的问题，在最后两类交换群仍然没有被解决。本文对剩余的两类交换群中绝大部分情形完全解决了这个逆问题。　　 这篇博士论文的结构如下。在第一章我们将介绍本文的研究背景以及术语和概念。在第二章，我们将对这两个新提出的零和不变量s(G)以及s"(G)进行系统的研究。而第三章，我们将给出具有给定和的子序列的计数的一个最佳下界，并对达到该下界的序列的结构进行了刻画。在最后一章，我们刻画了阶大于等于36的偶阶有限交换群G，以及阶为两个素数乘积[G]=pq且q≥2p+3的有限交换群G的非完备集的结构。