本论文主要研究以下Euler-Poisson方程组：ρt+divx(ρv)=0，ρvt+(ρv·▽x)v+▽xP+ρ▽xΦ=0，(ρS)t+divx(ρvS)=0，ΔxΦ=n(n-2)ωngρ，其中t≥0表示时间，x∈Ω是空间变量，Ω是Rn(n≥3)中的有界光滑区域.ρ=ρ(t，x)表示气态星体的密度，v=v(t，x)∈Rn，Φ=Φ(t，x)和S=S(t，x)分别表示气体的运动速度、重力势能和熵函数，g是引力常数，ωn表示Rn中单位球的体积，P是压力，它满足状态方程：P=P(ρ，S)=eSργ，其中γ＞1是绝热常数.该方程组来源于天文物理学.当n=3时，它是描述具有自引力势能的气态星体内部结构发展的流体动力学模型.它包括由质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程构成的Euler方程组以及由星体本身的密度分布决定的自引力势能所满足的Poisson方程. 本文主要考虑方程组的平衡解，即与时间t无关的解.具体而言，就是在某些条件下，如星体绕轴旋转[34]或是速度为零[17]，第一个和第三个方程是自动满足的，于是只需要考虑第二个和第四个方程. 我们首先考虑简单的情形：Ω=BR(0)是Rn中的一个以原点为圆心、R＞0为半径的球.作变量代换：ω=γ/γ-1(K1/2-γes/γργ-1，K=n(n-2)ωng(γ-1/γ)1/γ-1.于是第二个和第四个方程就可化为一个半线性椭圆方程divx(eαS▽ω)+e-αSωq-Kγ-1/2-γf(x)=0，f(x)=-div(v·▽v)=σ.这里需要克服σ＞0所产生的困难，因为这时强极值原理不再适用.我们应用打靶方法，证明了一定条件下上述方程满足边值条件ω|()Ω=0的径向对称解的存在性(依赖于γ)及其性质.同时本文还讨论了一定条件下径向对称解的非存在性. 其次，对于更一般的速度场v和有界光滑区域Ω()Rn，经过变量代换：u=γ/γ-1esργ-1，把第二个和第四个方程化成一个带参数σ＞0的半线性椭圆方程div(e-s/γ▽u)-1/γ(△S)e-s/γu+Ke-s/γ-1e-s/γu1/γ-1-σf(x)e-s/γ=0，这里∫Ω|f(x)|2dx=1.f(x)和△S变号时，强极值原理同样不能直接应用，所以也需要克服f(x)和△S变号所带来的困难.在f(x)和△S变号的情况下，我们系统地讨论了在各种不同的条件下，椭圆方程边值问题div(e-s/γ▽u)-1/γ(△S)e-s/γu+Ke-s/γ-1e-s/γu1/γ-1-σf(x)e-s/γ=0，x∈D；u|()D=0正解的存在性、多重性和唯一性.