二十世纪六十年代以来,图论作为年轻的数学分支,获得了空前的发展.图论在物理学、化学、生物学、网络理论、信息科学、计算机科学等学科有着极其广泛的应用.它作为组合数学的一个分支,受到了各方面的普遍重视.　　 本文研究图的因子理论.因子理论是图论的一个重要分支,在很多领域有着广泛的应用.如计算机网络中的文件传输问题、时间表问题等等都涉及到图的因子、因子分解和正交因子分解[1,11,67].本文我们主要研究图的参数和图的因子、分数因子、临界图和连通因子的关系.　　 本文中所考虑的图均为无向简单图.设G是一个具有顶点集V(G)和边集E(G)的图.对x∈V(G),x在G中的度用dG(x)表示.我们用NG(x)表示在G中与x相邻的顶点集合.用δ(G)表示图G的最小度.如果S是V(G)的一个子集,用NG(S)表示∑x∈SNG(x),用G[S]表示G中S的导出子图,用G-S表示G中去掉S中的点以及所有与S相关联的边的集合.若S,T()V(G),我们用eG(S,T)表示S中的点与T中的点关联的边数.连通图G的点割是V(G)的子集S使得G-S不连通.k-点割是有k个元素的点割.G的连通度κ(G)是使得G有k-点割的最小的k.图G称作是k-连通的如果κ(G)≥k.图G的边割是E(G)的子集[S,V(G)＼S],其中S是V(G)的非空子集.k-边割是有k个元素的边割.G的边连通度λ(G)是使得G有k-边割的最小的k.G称为是k-边连通的若λ(G)≥k.　　 设g(x)和f(x)是定义在V(G)上的两个非负整数值函数使得对所有的x∈V(G),g(x)≤f(x).图G的(g,f)-因子F是G的支撑子图且对所有的x∈1V(G),满足g(x)≤dF(x)≤f(x).如果对任意的x∈V(G),g(x)=f(z),则(g,f)-因子称作f-因子.设a和b是两个非负整数满足0≤a≤b.若对所有x∈V(G),g(x)≡a且f(x)≡b,则(g,f)-因子称作[a,b]-因子.若a=b=k,则[a,b]-因子称作k-因子,也称为正则因子.特别的,若对任意的x∈V(G),g(x)=f(x)=1,(g,f)-因子称为1-因子,即完美匹配.　　 对图的因子的研究最早归功于丹麦数学家Petersen(1891).他证明了任意偶数度图可以分解成边不交2-因子的并.而且他证明了每一个2-连通三次图都有一个1-因子.这两个结果被认为是现代图因子理论的先驱.对于二部图的匹配,K(o)nig(1931)和Hall(1935)给出了K(o)nig-Hall定理(有时也称为Hall定理).1947年Tutte[115]给出了图的完美匹配存在性的判别性准则(即Tutte1-因子定理),这个定理成为了因子理论的基石.直到现在,这个优美的定理仍然是因子理论中最基本的结果之一.随后,1952年Tutte[116]推广了1-因子定理的证明技巧,给出了图有f-因子的充分必要条件.Lováz[86](1970)研究了最一般度约束条件因子和(g,f)-因子,并给出了图有(g,f)-因子的充分必要条件.这个结论是所有其它因子存在性准则的推广,如1-因子,k-因子,f-因子和[a,b]-因子.从此,关于因子的结果大量涌现出来.　　 若对任意的N()V(G)满足｜N｜=n,G-N有一个(g,f)-因子,则称图G是(g,f,n)-临界图.若对所有的x∈V(G),g(x)≡a且f(x)≡b,则称(g,f,n)-临界图为(a,b,n)-临界图.即任意去掉G中n个顶点后,剩下的图仍然有一个[a,b]-因子,则称图G为(a,b,n)-临界图.若a=b=k,则(a,b,n)-临界图为(k,n)-临界图.若k=1,则(k,n)-临界图简称为n-临界图.　　 因子临界图是因子理论的延伸.Plummer[101]和Lovász[85]研究了2-临界图的性质.Yu[130]研究了n-临界图.Liu与Yu[76]研究了(k,n)-临界图.Liu和Wang[72]给出了当a