【摘 要】
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由于纠错码可以有效降低信息在传输过程中的误码率,进而提高通信系统的可靠性,因此纠错码在编码理论中具有重要的地位。目前,随着对纠错码理论不断深入的研究,有限域上的纠错码已经在军事、经济、政治等领域有着广泛的应用。MDS自对偶码是一类最优的线性码,与密码学、量子通信以及组合设计等领域有着密切的联系,因此构造参数最优的MDS自对偶码是当前编码理论的一个重要研究内容。目前,构造MDS自对偶码应用的数学工具
【基金项目】
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国家自然科学基金青年基金（编号:11401468）； 陕西省科技厅青年基金（编号:2019JQ-333）；
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由于纠错码可以有效降低信息在传输过程中的误码率,进而提高通信系统的可靠性,因此纠错码在编码理论中具有重要的地位。目前,随着对纠错码理论不断深入的研究,有限域上的纠错码已经在军事、经济、政治等领域有着广泛的应用。MDS自对偶码是一类最优的线性码,与密码学、量子通信以及组合设计等领域有着密切的联系,因此构造参数最优的MDS自对偶码是当前编码理论的一个重要研究内容。目前,构造MDS自对偶码应用的数学工具主要有椭圆曲线、组合设计、编码理论等。本论文主要利用分圆数来构造MDS自对偶码。子域码的重量分布可以反映出该码的纠错和检错能力,因此重量分布有着重要的研究价值。但重量分布的计算与有限域上的指数和密切相关。一般来说,给出有限域上指数和的精确值是非常困难的。本论文计算了两类子域码的重量分布。在本论文中,主要对MDS自对偶码的构造以及子域码的重量分布展开研究。具体内容如下:（1）基于有限域上的广义Reed-Solomon码和扩展广义Reed-Solomon码,以6阶和8阶分圆数为工具,给出了 MDS自对偶码存在的判别条件。该方法也适用于高阶分圆数的情形。（2）通过计算几类指数和的精确值,确定了置换多项式f1（x）=x4和f2（x）=x6+x4+x2上的两类子域码的重量分布,并且证明了这两类子域码的对偶码是达到球填充界的最优码。
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