【摘 要】
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锥优化及广义方程,尤其是非多面体矩阵锥优化及广义方程,在统计、控制与系统辨识、信号与图像处理、机器学习等诸多领域中有着非常广泛的应用.集值映射的Aubin性质、孤立平稳性和强平稳性不仅是优化问题的稳定性分析的核心,而且在优化问题的数值算法收敛速率分析中起重要的作用.本论文主要研究C2-锥可约的标准扰动锥优化及参变量广义方程解映射的这几类Lipschitz型性质.针对C2-锥可约的标准扰动锥优化问题
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锥优化及广义方程,尤其是非多面体矩阵锥优化及广义方程,在统计、控制与系统辨识、信号与图像处理、机器学习等诸多领域中有着非常广泛的应用.集值映射的Aubin性质、孤立平稳性和强平稳性不仅是优化问题的稳定性分析的核心,而且在优化问题的数值算法收敛速率分析中起重要的作用.本论文主要研究C2-锥可约的标准扰动锥优化及参变量广义方程解映射的这几类Lipschitz型性质.针对C2-锥可约的标准扰动锥优化问题,论文的第三章研究了其KKT解映射、稳定点映射和乘子集映射的Aubin性质、孤立平稳性和强平稳性,得到了如下主要结论:（1）乘子集映射在参考点的Aubin性质暗含了 KKT解映射在相应点处的Abuin性质,而后者等价于稳定点映射在参考点的Aubin性质和该点的非退化性;（2）KKT解映射在参考点的孤立平稳性等价于乘子集映射在相应点处的孤立平稳性及乘子的非临界性,也等价于严格Robinson约束规范和乘子的非临界性,还等价于严格Robinson约束规范和稳定点映射在相应点处的孤立平稳性;（3）KKT解映射的强平稳性等价于KKT点的局部误差界,也等价于稳定点映射的伪孤立平稳性及乘子集映射的平稳性,其中,乘子的非临界性在一定条件下会暗含稳定点映射的伪孤立平稳性.针对C2-锥可约的参变量广义方程,第四章在不需参考点的约束非退化性,刻画了锥约束集法锥映射的图导并建立其正则coderivative的下估计和coderivative的上估计,由此得到广义方程解映射的免非退化条件的孤立平稳性刻画以及Aubin性质.第五章研究了孤立平稳性在推导低秩稀疏优化精确恢复条件中的应用.文中分别从原和对偶角度构造相应仿射约束核范数优化问题的解映射,然后通过刻画这些解映射的孤立平稳性导出精确恢复条件,并基于这些条件为随机型采样算子提供了所需采样数的下界.特别地,从对偶角度导出的孤立平稳型精确恢复条件等价于对偶问题的严格Robinson约束规范,而Candes和Recht[12]以及Chandrasekaran等人[15]所给出的确定性精确恢复条件要比对偶问题的约束非退化强.
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