本文主要研究了一些非线性演化方程和方程组的辛和多辛算法．用辛和多辛算法研究了对称正则长波(简称SRLW)方程和Klein-Gordon-SchrSdinger (简称KGS)方程组的孤立波随时间的演化情况，及其有关的守恒律． 孤立波及其理论是现代非线性科学研究的重要组成部分，它所对应的数学模型往往是线性或者非线性的偏微分方程或者方程组，它遍布现代科学研究的各个领域和角落，在流体力学，原子分子物理，等离子体物理，光纤通讯，化学化工，生物医药等诸多科学领域有广泛应用．近几十年来，孤立波方程定解问题的精确求解及其理论研究一直是科学研究的一个热门课题，取得了丰硕的研究成果．求解孤立波方程精确解的方法除了传统的反散射方法、Hirota双线性方法、Backlüind变换方法外，近年来又涌现了很多新方法，如齐次平衡法、双曲正切法，级数展开法等．虽然已经有了这么多求解孤立波方程精确解的方法，但是由于事物的复杂性，大多数定解问题还是不能精确求解的，只能通过数值方法近似求解，特别是对于非线性的情形． 一切耗散效应可以忽略不计的物理过程都可表示成能够保持辛几何结构不变的哈密尔顿系统的形式，它在自然界中具有普适性，也就是说大多数孤子方程都可以表示成哈密尔顿形式．现代数值计算的基本原则是尽可能保持原问题的本质特征．因此，研究保持哈密尔顿系统的辛几何结构特征的数值方法是必然的．为了适应这一需要，我国计算数学的奠基人冯康院士首次在1984年系统地提出了能够保持哈密尔顿系统辛结构不变的辛几何算法。随后，辛算法成为国内外计算科学讨论的一个热门课题，在这一领域涌现了一大批的研究成果．自从冯康院士提出辛算法以后，这一算法有了两次大的飞跃和发展，一次是从有限维向无限维的推广，一次是向多辛算法的深入发展．二十世纪九十年代后期，Marsden等从变分原理的角度提出了多辛积分的概念，而Bridges，Reichs从辛几何的角度提出了多辛算法，近年来这一算法得到了迅猛的发展，它已经成功地用来解决了很多现实问题，模拟了各种物理现象． 本文第一章对辛和多辛算法的相关背景作了简单介绍，对辛空间的基本知识作了简要的回顾． 第二章简单总结了构造哈密尔顿系统辛算法的常用方法，主要有生成函数法，Runge-Kutta方法，块Runge-Kutta，可分哈密尔顿系统的显式方法和构造高阶精度格式的复合方法等．本章最后还介绍了把无限维哈密尔顿系统降低为有限维系统的Fourier拟谱方法． 第三章构造了KGS方程组的一族辛格式，分析了此族格式的守恒律和收敛速度．证明了我们构造的辛格式保持电荷守恒，而且分析了它的能量误差，证明了数值解的整体截断误差和解的收敛速度均为0(T<2>+h<2m>)．数值实验表明我们所构造的辛格式具有长时间的数值模拟能力，我们的理论分析是正确的． 第四章简单介绍了多辛哈密尔顿系统及其相关的守恒律．以KGS方程组为例介绍了一些构造多辛算法的常用方法，主要有Fortrier拟谱方法，GaUSS-Legendre Runge-Kutta方法等．对KGS方程组研究了它的多辛格式的守恒律．通过分析我们发现对KGS方程组而言，Preissman格式在加权意义下电荷守恒，而多辛Fourier拟谱方法具有经典意义下的电荷守恒律，而能量表达式由于是三次多项式，Preissman格式和多辛Fourier拟谱格式均不具有能量守恒的特征，尽管如此，用多辛格式模拟所产生的误差相对较小．我们还精确分析了能量和动量的残量．数值例子表明我们所构造的格式能够模拟各种孤立波，得到了很多有趣的物理现象．同时也说明了我们的理论分析的正确性． 第五章研究了SRLW方程的多辛格式，对它构造了多辛Preissman格式和Fourier拟谱格式．数值例子说明了格式的有效性和优越性．这一章我们以SRLW方程为例简单讨论如何把多辛格式修正成局部能量守恒格式或者局部动量守恒格式． 第六章就本文的主要内容作了简单的总结．就辛和多辛算法未来的发展方向做了简单的展望，并罗列了一些公开问题及其面临的一些挑战。