Verma型模在仿射Kac-Moody代数和toroidal李代数的表示理论中已有很多研究，包括一类非常特殊的虚拟Verma模.文献[7]对仿射Kac-Moody代数定义了以一个函数ψ为参量的ψ-虚拟Verma模，推广了虚拟Verma模的概念.受此启发，我们在第2章将ψ-虚拟Verma模的理论推广到toroidal李代数上.　　给定一个函数ψ:Zn{(0)}→{±1}，在2.2节我们先对广义Heisenberg李代数（可以看作toroidal李代数的子代数，类似仿射Kac-Moody代数的Heisenberg子代数）定义了ψ-模的概念，分类所有的不可约ψ-模，并研究了它们的一些基本性质.这个ψ-模的概念推广了高权模的概念.之后我们在2.3节研究toroidal李代数的ψ-虚拟Verma模.Toroidal李代数的ψ-虚拟Verma模是toroidal李代数的虚拟Verma模[47]和仿射Kac-Moody代数的ψ-虚拟Verma模[7]的推广.我们给出了中心作用非平凡时ψ-虚拟Verma模的所有不可约商模.　　Toroidal李代数以交换环面作为坐标代数，而且它的表示与交换环面上的导子李代数的表示有密切的关系[55].交换环面上的导子李代数又是Witt代数的推广，因此交换环面上的导子李代数的表示得到了广泛的研究.人们最关心的是它的权空间维数有限的模，Billig和Futorny[15]证明了这样的不可约模只有两类，一类是由沈光宇[79]和Larsson[64]构造的张量场模，另一类是由文献[8]给出的高权型模.量子环面是交换环面的一个非交换推广，而且它是很多高维仿射李代数[51]的坐标代数，因此研究量子环面上的导子代数也显得尤为重要.对量子环面上的导子李代数，相应的张量场模已有构造[68].但是高权型模却没有相关的结论.在第3章我们对一类量子环面上的导子李代数，构造了一类高权型模，证明了它们是权空间维数有限的不可约模.　　与权模一样，Whittaker模在李代数的表示理论中有着很重要的地位.在有限维李代数的研究中它有着很经典的理论[63].同时，很多无限维李代数上的Whittaker模也得到了广泛重视，如Virasoro代数及其推广得到的李代数（如Heisenberg-Virasoro代数和Virasoro-like代数）等.文献[22]研究了Heisenberg李代数的Whittaker模，并用它构造了仿射Kac-Moody代数的虚拟Whittaker模.另外，我们在2.3节发现toroidal李代数的ψ-虚拟Verma模可以由广义Heisenberg李代数的一类ψ-模构造得到.受这两种构造的启发，我们在2.4节用广义Heisenberg李代数的另一类ψ-模，ψ-Whittaker模，构造了toroidal李代数的ψ-虚拟Whittaker模.我们给出了ψ-虚拟Whittaker模的一个不可约判定条件.当toroidal李代数只有一个变量时（即退化为仿射Kac-Moody代数），我们得到了仿射Kac-Moody代数的ψ-虚拟Whittaker模，这个概念包含了文献[22]中研究的仿射Kac-Moody代数的虚拟Whittaker模.　　受前人工作的启发，Batra和Mazorchuk[6]对一类无限维李代数（包括一些带有三角分解的李代数）的Whittaker模进行了系统的研究.但是还有一些重要的无限维李代数不包括在内，如广义Virasoro代数，Virasoro-like代数，以及二阶Heisenberg-Virasoro代数[85].二阶Heisenberg-Virasoro代数是Heisenberg-Virasoro代数和Virasoro-like代数的推广.本文的第4章研究了二阶Heisenberg-Virasoro代数的Whittaker模的不可约性，推广了Virasoro-like代数关于Whittaker模的结论[50].