三角形的特殊点研究

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三角形是最基本的平面图形,平面几何关于三角形的理论也最为成熟。三角形的特殊点有许多奇妙的性质,它如同人的眼睛一样,是三角形“心灵”的窗口。特殊点中最为人们所熟知的是“五心”(重心,外心,内心,垂心,旁心)和费马点,在各省高中数学竞赛初赛和全国高中数学联赛平面几何试题中关于“五心”的考察十分普遍,五心和费马点也被纳入全国高中数学联赛竞赛大纲,其重要性可见一斑。以湖北省高中数学竞赛为例,2008年考察了垂心,2012年考察了内心,2009年和2017年考察了外心,2013年和2018年考察了重心。结合本人的解题和教学实践,本文主要介绍三角形的九个常见特殊点(三角形的“五心”,费马点,纳格尔点,布洛卡点,正则点)及其性质,并通过丰富的例题展示了特殊点性质的灵活运用。通过借助几何画板中三角形特殊点的作图工具,本文还研究了特殊点的向量表示,特殊点的坐标,特殊点到三角形顶点的距离,特殊点间的心距公式,特殊点的分布规律,有关特殊点的几何不等式。利用这些性质我们得到了解决平面几何问题的更多方法,结合部分典型试题本文进行了一定的归纳总结。
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