曲面是连通的紧2维流形.能画在曲面上使得其边仅在端点处相交的图称为曲面嵌入图.曲面嵌入图作为一个重要图类，一直是物理学和化学研究领域中受到高度重视的研究模型.特别是嵌入在曲面上的各类格子图模型，长期以来都是统计物理学家和量子化学家们关注的焦点。　　设C是图G的一个圈，若子图G-V(C)含有完美匹配，其中V(C)是C的顶点集，则称C是G的一个好圈.设C是图G的一个偶圈，规定C的一种绕行方向（顺时针或逆时针），(G)是G的一个定向，若在(G)中，C含有奇数条与其绕行方向一致的边，则称C在(G)中是奇定向的.若在G的定向(G)中，G的每一个好圈均是奇定向的，则称(G)是G的一个Pfaffian定向.含有Pfaffian定向的图称为Pfaffian图.一般图的完美匹配计数问题是＃P-完全的.但是，Pfaffian图的完美匹配数可以在多项式时间内求出来.图的Pfaffian性问题是匹配理论研究领域中备受关注的课题.若图G的子图日的每个顶点的度都是偶数，则称H是G的欧拉子图.设(R)(G)是G的所有欧拉子图构成的集合，在二元域GF(2)上定义加法(+)和数乘.运算:X(+)Y:=X△Y;1·X=X，0·X=(0)，这样构成的线性空间((R)(G)，(+)，·)称为G的圈空间，其维数β(G)=|E(G)|-|V(G)|+ω(G)，其中ω(G)是G的连通分支数.任意β(G)个线性无关的欧拉子图组成的集合称为G的一组圈基，记为B.圈基B中所有欧拉子图的总边数称为B的长，记为l（B）.图的圈基问题自二十世纪三十年代以来就受到许多学者的广泛关注。对于平面图，Kasteleyn证明了每一个平面图均是Pfaffian图.Leydold和Stadler对于任意2-连通图G=(V(G)，E(G))的圈基B的长得到过一个下界:2|E(G)|-|V(G)|，并且证明了具有长为2|E(G)|-|V(G)|圈基的图均是平面图.基于平面是亏格为0的可定向曲面，本文重点研究曲面嵌入图的Pfaffian性问题和圈基问题。　　对于可定向曲面嵌入图的研究，我们应用曲面的平面模型及曲面嵌入图的交叉定向，得到了可嵌入在亏格为1的可定向曲面（即环面）上Pfaffian图的一些充分条件;并刻画了可嵌入在环面上的四边形网格Pfaffian图的结构:设图G是可嵌入在环面上的四边形网格图，G是Pfaffian图当且仅当G不是二部图.由于可嵌入在环面上的四边形网格图是特殊的循环图，我们也对循环图的Pfaffian性进行研究，得到了任意循环图成为Pfaffian图的充要条件.我们刻画了含有长为2|E(G)|-|V(G)|的圈基的图的结构，并将Leydold和Stadler的结果推广到2-连通的亏格为g(G)的图G=(V(G)，E(G))的圈基B:l（B）≥2|E(G)|-|V(G)|+2g(G).　　对于不可定向曲面嵌入图的研究，我们应用曲面嵌入图的平面表示及交叉数理论，完全刻画了可嵌入在亏格为2的不可定向曲面（即Klein瓶）上的四边形网格图的Pfaffian结构.M(o)bius带是恰好有一条边界边的不可定向曲面，对于可嵌入在M(o)bius带上的图G，我们给出了G成为Pfaffian图的一个充分条件，并刻画了可嵌入在M(o)bius带上的四格子Pfaffian图的结构.对于2-连通的交叉帽数为c(G)的图G=(V(G)，E(G))的圈基B，证明了:l（B）≥2|E(G)|-|V(G)|+c(G).同时，我们也对可嵌入在亏格为1的不可定向曲面（即射影平面）上的图G=(V(G)，E(G))的最短圈基M证明了:l(M)≤「13|V(G)|/2」-9。