【摘 要】
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在过去的二十年里,随着分数阶偏微分方程的广泛应用,带分数阶导数的模型在精确描述科学与工程领域的许多现象时展示出某些独特的优势.分数阶Schrodinger方程和分数阶Ginzburg-Landau方程是在物理应用和数学分析方面得到广泛关注的两类重要的分数阶偏微分方程.然而,这些方程的解析解很难求得.因此本文致力于这两类分数阶方程的数值分析研究.对分数阶Schrodinger方程,我们构造一些守恒的
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在过去的二十年里,随着分数阶偏微分方程的广泛应用,带分数阶导数的模型在精确描述科学与工程领域的许多现象时展示出某些独特的优势.分数阶Schrodinger方程和分数阶Ginzburg-Landau方程是在物理应用和数学分析方面得到广泛关注的两类重要的分数阶偏微分方程.然而,这些方程的解析解很难求得.因此本文致力于这两类分数阶方程的数值分析研究.对分数阶Schrodinger方程,我们构造一些守恒的差分格式并分析格式的守恒性及收敛性.而对分数阶Ginzburg-Landau方程,我们将构造两类差分格式,并主要研究格式的无条件收敛性.整个论文包括如下七个部分：第一章,我们引入所研究的两类方程,并简要介绍问题的研究背景和研究现状.第二章至第五章,我们主要研究分数阶Schrodinger方程.在第二章,我们构造同时满足质量和能量守恒的差分格式.通过引入一些新的技巧,从理论上严格证明格式的守恒性和收敛性.第三章中,为克服第二章中非线性格式求解耗时的问题,基于Adams-B ashforth外插技巧对非线性项做线性化处理,我们将构造满足质量守恒的线性化格式,并分析格式的收敛性.然后利用所构造的格式,数值研究两个孤子波的碰撞问题.第四章主要研究守恒格式的收敛性问题.通过引入分数阶Sobolev范数并建立一些不等式和等价关系,我们证明格式在lh2范数,Hhα/2半范及lh∞范数意义下的无条件收敛性.第五章考虑二维问题.为克服高维和非线性两方面引起的求解困难,我们利用分裂步技巧将问题分裂为线性偏微分方程和非线性常微分方程分别进行求解,并对线性问题构造了多个ADI型差分格式.理论分析和数值试验表明,格式在线性情形同时满足质量守恒和能量守恒,而在非线性情形满足质量守恒.同其它格式的数值对照将展示格式的有效性.第六章和第七章研究分数阶Ginzburg-Landau方程.我们将在第六章构造时间空间方向都具有二阶精度的隐式中点格式,并证明格式在lh2范数意义下的无条件收敛性.第七章将引入另一个格式.该格式在时间上组合采用BDF2公式和二阶Gear外插方法,在空间上采用四阶拟紧差分格式.利用G稳定性理论,我们证明格式在lh2范数,Hhα/2半范及lh∞范数意义下的无条件收敛性.并通过数值实验展示格式在精度和运算时间上的有效性.
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