量子控制在量子计算、核磁共振、量子化学以及量子光学等领域具有广泛的应用前景。量子态转移控制是量子控制的核心内容。由于量子系统的不确定性,具有全局稳定性的量子态转移控制显得尤为重要。李雅普诺夫稳定性理论可以用于实现具有全局稳定性的量子态反馈控制。本论文对基于李雅普诺夫稳定性理论的量子态控制以及单量子比特表示进行了系统深入地研究。重点研究了封闭量子系统的通用控制方法,随机量子系统的状态分解控制方法,以及单量子比特的规范实数对表示方法。主要研究内容以及研究成果可以概括为以下三个方面:1.针对封闭量子系统,提出一种基于李雅普诺夫稳定性理论的通用控制方法,可将系统由任意初始态驱动至任意目标态。此方法可应用于量子系统的自由哈密顿量非强正则,以及(或)量子系统的控制哈密顿量非全连接的情形。具体而言,利用隐李雅普诺夫理论,通过精心构造两种隐函数以及一种含有虚拟力学量的李雅普诺夫函数,同时设计了三种类型的控制律:常值控制律,微扰控制律以及主控制律。常值控制律可解决量子系统哈密顿量与目标态不对易的问题,讨论了其存在性;微扰控制律可解决量子系统哈密顿量非全正则以及控制哈密顿量非全连接的问题,严格证明了微扰控制律的存在性以及量子系统在其作用下的非退化性;证明了主控制律可使量子系统在所有平衡态保持稳定。进一步分析了量子系统在控制律作用下的最大不变集,通过引入虚拟力学量,根据拉萨尔不变性原理,证明了系统的全局收敛性。最后,为了说明控制律的设计过程以及验证控制方法的有效性,给出了数值仿真实例。2.不同于量子纠缠态,如果量子态可以写成矩阵张量积的形式,那么此量子态被称为可分离的。针对随机量子系统,同样基于李雅普诺夫稳定性理论和随机系统的拉萨尔不变性原理,提出了可分离目标态的控制方法。此方法可使系统由任意初始量子态,几乎必然收敛至可分离的混合目标态,称之为量子系统分解控制。解决了三个与量子系统分解控制有关的问题:第一个问题,给出了随机量子系统状态分解的可控条件;第二个问题,给定具体可分离的目标态,给出了随机量子系统可分解控制的判定条件;最后一个问题,设计了随机量子系统的控制律,其中包含精心构造的虚拟力学量,利用伊藤随机微分理论,使得系统可分解目标态几乎必然具有全局稳定性。3.单量子比特是最简单的量子系统,是研究复杂量子系统的基础。提出可以用规范实数对这一数学模型来表示单量子比特。任意单量子比特都可以表示为规范实数对的形式。发现了泡利变换在规范实数对变换中的对应形式,并严格证明了后者满足若干代数性质。定义了规范实数对的代数运算,即加法、标量乘法和普通乘法。严格证明了规范实数对集合对这三种运算保持封闭,并满足交换、结合以及分配律。最后,进一步研究了规范实数对幂运算和指数运算,并证明了相关定理。在此基础上,构造了量子比特指数这一全新运算。本文解决了其它方法不能解决的退化的封闭量子系统的控制问题,可以任意设定初始态和目标态,系统始终具有全局渐近稳定性。状态分解控制是一种新的控制类型,同时研究了它的可控性条件、可分解判定条件以及控制律。而单量子比特的规范实数对表示是一种完全不依赖于模糊数学框架的新的数学对象,并且具有自己独立的性质,扩展了我们对量子信息的认识。