【摘 要】
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矩阵近似是近年来现代科学研究领域的重要课题之一,尤其在信号分析、图像处理与机器学习等领域中都有着十分广泛的应用.本论文从三个方面对KL熵矩阵近似问题进行了研究,阐明
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矩阵近似是近年来现代科学研究领域的重要课题之一,尤其在信号分析、图像处理与机器学习等领域中都有着十分广泛的应用.本论文从三个方面对KL熵矩阵近似问题进行了研究,阐明了问题的理论基础,给出了求解这个问题的方法与应用.首先,本论文简单地回顾了一类广义矩阵距离度量,称为矩阵Bregman散度,用来研究矩阵近似问题.文中回顾了矩阵Bregman散度的概念与一些性质,建立了矩阵Bregman散度为目标函数的矩阵近似模型,并推导了矩阵Bregman投影算子的解析式.其次,本文研究了求解基于KL熵的矩阵近似问题的对偶法,推导了原问题的对偶问题,并应用牛顿共轭梯度算法求解对偶问题.给出的数值实验表明算法求解的有效性,并将数值结果与经典的Frobenius范数矩阵近似作对比,说明了单独研究KL熵矩阵近似的意义.最后,文章讨论了基于KL熵的矩阵低秩近似问题,简要地阐述了问题的相关理论.由于KL熵的某些特性,本文通过限制给定初始矩阵的像空间,将原问题等价转化为满秩约束的KL熵矩阵近似的凸优化问题,并用对偶法求解,推导了该凸优化问题的对偶问题,以及运用牛顿共轭梯度法求解对偶问题.数值试验结果表明了算法求解的有效性,对研究满秩与低秩的矩阵近似问题有一定的意义.
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