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分数微积分起源于Leibniz的年代，在最近的几十年得到了很大的发展。分数阶的模型对于具有记忆性和遗传性物质的研究有非常好的效果。在粘弹性，系统控制，电化学等等领域，科学家们提出并研究了大量的分数阶的模型。
第一章，本文介绍了一些分数微积分和分数微分方程的研究历史和发展现状。首先比较详细的介绍了分数微积分在各个工程领域及其它学科的应用，然后对分数微分方程的解的存在唯一性方面以往的工作做了一些介绍。
第二章，本文首先是根据Riesz位势的相关性质指出分数阶积分算子I<λ>从L
(0,T)到到L 空间(即L <,β>((0,T))到加权L (0,T)到和L <,β>(0,T)的存在性，并且讨论了解的正则性问题。
(0,T)的有界性和紧性。然后利用泛函分析的基本工具研究了积分算子Iλ从加权L
空间的有界性和紧性。并且对指标p、q、β的极限情形进行了部分讨论。在p、q、β满足一定条件时，相应的空间甚至可以嵌入到Holder空间。
在第三章，本文将上述结果应用到一类非线性分数阶微分方程，并利用Schauder不动点定理得到解在L