本文研究了两类有向图和一类无向图在可定向曲面上的亏格多项式.在拓扑学中，曲面S是一个无边缘的2维紧致流形.经典的拓扑学理论表明:在球面上添加h个手柄可得到亏格为h可定向曲面Sh.研究给定图在曲面上的2-胞腔嵌入的个数是拓扑图论中的重要课题.对于无向图的嵌入分布问题已经取得了一些成果，但是对有向图的嵌入分布结果却很少.图G在曲面S上的嵌入是指从G到S的一个一一映射φ:G→S，使得S-φ(G)的每一个连通分支都同胚与一个开圆盘（通常称为G的一个面），φ则称为G的一个胞腔嵌入（或简称为嵌入）.　　本文运用刘彦佩教授提出的的联树法和Bojan Mohar提出的转移矩阵法，分别研究了给定有向图和图的亏格多项式.　　论文组织结构如下:　　第一章绪论中主要介绍了图在可定向曲面上嵌入的相关概念和背景进行介绍.　　第二章给出了用联树法研究拟方块有向图在可定向曲面上的嵌入亏格分布并得到了它的亏格多项式.　　第三章刻画了拟爪有向图在可定向曲面上的嵌入亏格分布，并得到了它的嵌入亏格.　　第四章中用Bojan Mohar提出的转移矩阵法研究了双链图的嵌入亏格多项式.　　第五章结束语对本文进行了总结，并给出了进一步的研究方向.